- Bài 5.1
- Bài 5.2
- Bài 5.3
- Bài 5.4
- Bài 5.5
Bài 5.1
Cho góc \[xOy\] bằng \[60°,\] điểm \[M\] nằm trong góc đó và cùng cách \[Ox, Oy\] một khoảng bằng \[2cm.\] Khi đó đoạn thẳng \[OM\] bằng
[A] \[2cm;\] [B] \[3cm;\]
[C] \[4cm;\] [D] \[5cm\]
Hãy chọn phương án đúng.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
+]Nếu tam giác vuông có một góc nhọn bằng \[30^0\] thì cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn đó bằng nửa cạnh huyền
Lời giải chi tiết:
Do \[M\] cùng cách \[Ox, Oy\] những khoảng bằng nhau nên \[M\] nằm trên tia phân giác của góc \[xOy.\]
Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[Ox \] thì tam giác vuông \[HOM\] có \[HM=2cm\] và\[\widehat {HOM} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\]
Nên \[MH=OM:2\] [Nếu tam giác vuông có một góc nhọn bằng \[30^0\] thì cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn đó bằng nửa cạnh huyền]
Hay \[OM = 2MH = 4cm\]
Chọn [C]
Bài 5.2
Cho điểm \[A\] nằm trong góc vuông \[xOy.\] Gọi \[M, N \] lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến \[Ox, Oy.\] Biết \[AM = AN = 3cm.\] Khi đó
[A] \[OM = ON > 3cm \]
[B] \[OM = ON < 3cm\]
[C] \[OM = ON = 3cm \]
[D] \[OM \neON\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết:
+] Vì A nằm trong góc xOy và cách đều Ox, Oy [do AM = AN = 3cm] nên điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Suy ra: OA là tia phân giác của góc xOy.
Do đó:\[\widehat {MOA} = \widehat {NOA} = \dfrac{{\widehat {MON}}}{2} \]\[= \dfrac{{{{90}^0}}}{2} = {45^0}\]
Tam giác \[MAO\] vuông tại M có \[\widehat {MOA}=45^0\] nên \[\widehat {MAO}=90^0-45^0=45^0\]
Do đó, tam giác \[MAO\]vuông cân tại \[M,\] bởi vậy \[MO = MA = 3cm.\]
+] Chứng minh tương tự ta có tam giác OAN vuông cân tại N nên \[NO = NA = 3cm.\]
Vậy \[OM=ON=3cm\]
Chọn [C]
Bài 5.3
Cho góc đỉnh \[O\] khác góc bẹt.
a] Từ một điểm \[M\] trên tia phân giác của góc \[O,\] kẻ các đường vuông góc \[MA, MB\] đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng \[AB \bot OM\]
b] Trên hai cạnh của góc \[O\] lấy hai điểm \[C\] và \[D,\] sao cho \[OC = OD.\] Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc \[O\] tại \[C\] và \[D\] cắt nhau ở \[E.\] Chứng minh rằng \[OE\] là tia phân giác của góc \[O.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Tính chất hai tam giác bằng nhau
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết:
a]
Gọi \[H\] là giao điểm của \[AB\] và \[OM.\]
Xét hai tam giác vuông \[AOM\] và \[BOM,\] ta có:
+] Cạnh huyền \[OM\] chung
+] \[MA = MB\] [vì \[M\] thuộc tia phân giác của góc \[O].\]
Vậy \[AOM = BOM\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông].
Suy ra \[OA = OB.\]
Từ đó, xét\[AOH\] và \[BOH\] có:
+] \[OA=OB\] [cmt]
+]\[\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\] [vì \[OH\] là phân giác góc \[O]\]
+] \[OH\] là cạnh chung
Nên \[AOH = BOH\] [c.g.c]. Suy ra\[\widehat {AHO} = \widehat {BHO} \]
Mà\[\widehat {AHO} + \widehat {BHO} = {180^0}\] [hai góc kề bù] nên\[\widehat {AHO} = \widehat {BHO} \]\[= 180^0:2={90^0}\]
Tức là \[OM \bot AB\]
b]
Xét hai tam giác vuông \[COE\] và \[DOE\] có:
+] Cạnh huyền \[OE\] chung
+] \[OC = OD\] [giả thiết]
Nên\[\Delta COE = \Delta DOE\][cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra\[\widehat {EOC} = \widehat {EOD}\]hay \[OE\] là tia phân giác của góc \[O.\]
Bài 5.4
Cho tam giác cân \[ABC, AB = AC.\] Trên các cạnh \[AB, AC\] lần lượt lấy hai điểm \[P, Q\] sao cho \[AP = AQ. \] Hai đoạn thẳng \[CP, BQ\] cắt nhau tại \[O.\] Chứng minh rằng:
a] Tam giác \[OBC\] là tam giác cân.
b] Điểm \[O\]cách đều hai cạnh \[AB, AC.\]
c] \[AO\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] và vuông góc với nó.
Phương pháp giải:
a] Chứng minh tam giác \[OBC\] có hai góc \[OBC\] và \[OCB\] bằng nhau
b] c] Sử dụng:
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết:
a] Xét\[ABQ\] và \[ACP\] có:
+] \[AP=AQ\] [gt]
+] \[\widehat A\] chung
+] \[AB=AC\] [gt]
Suy ra \[ABQ = ACP\] [c.g.c] nên \[\widehat {ACP} = \widehat {ABQ}\].
Mặt khác \[\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\]do tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] [vì \[AB=AC]\] nên \[\widehat {OCB} = \widehat {OBC}\].
Suy ra tam giác \[OBC\] cân tại \[O.\]
b] Vìtam giác \[OBC\] cân tại \[O\] nên \[OB=OC\]
Xét hai tam giác \[AOB\] và \[AOC\] có:
+] Cạnh \[AO\] chung
+] \[AB = AC \] [giả thiết]
+] \[OB = OC\] [chứng minh trên]
Vậy \[AOB = AOC\] [c.c.c].
Suy ra\[\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\] hay \[AO\] là tia phân giác của góc \[BAC.\]
Suy ra \[ O\] cách đều hai cạnh \[AB, AC\] [tính chất].
c] Gọi giao điểm \[AO\] với \[BC\] là \[H.\]
Xét hai tam giác \[AHB\] và \[AHC\] có:
+] Cạnh \[AH\] chung
+] \[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\][theo câu b]
+] \[AB = AC\]
Vậy \[AHB = AHC\] [c.g.c].
Suy ra \[HB = HC\] và \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} \]
Mà\[\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\] [hai góc kề bù] nên\[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} \]\[= 180^0:2={90^0}\]
Tức là \[AH \bot BC\]
Vậy \[AO \bot BC\] và \[AO\] đi qua trung điểm H của \[BC.\]
Bài 5.5
Cho hai đường thẳng song song \[a, b\] và một cát tuyến \[c.\] Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại \[I.\] Chứng minh rằng \[I\] cách đều ba đường thẳng \[a, b, c.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[A, B, C\] lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \[I\] đến \[a, b, c.\]
Xét hai góc trong cùng phía \[E\] và \[F.\]
Do \[I\] thuộc tia phân giác của góc \[E\] nên \[IA = IC.\] [1]
Do \[I\] thuộc tia phân giác của góc \[F\] nên \[IC = IB.\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[IA = IB = IC,\] tức là \[I\] cách đều ba đường thẳng \[a, b, c.\]