- LG a
- LG b
- LG c
Cho hai đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr
y = 2 + 2t \hfill \cr
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\] và \[d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\].
LG a
Chứng minh rằng d và d đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa chúng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \[M\left[ {7;2;1} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {3;2; - 2} \right]\].
Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {1; - 2;5} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ {2; - 3;4} \right]\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \left[ { - 6; - 4;4} \right]\]
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \cr &= \left[ {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right] \cr &= \left[ {2; - 16; - 13} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \cr &= - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \]
Vậy d và d đồng phẳng.
Mà \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {u'} \] không cùng phương nên d và d cắt nhau.
Mp[P] chứa d và d đi qua \[M\left[ {7;2;1} \right]\]và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {2; - 16; - 13} \right]\] do đó [P] có phương trình là:
\[2\left[ {x - 7} \right] - 16\left[ {y - 2} \right] - 13\left[ {z - 1} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\]
LG b
Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp[P] và ba mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của mp[P] với các trục tọa độ là: \[A\left[ {{{ - 31} \over 2};0;0} \right]\,\,;\,\,B\left[ {0;{{31} \over {16}};0} \right]\,\,;\] \[C\left[ {0;0;{{31} \over {13}}} \right]\]
Thể tích tứ diện OABC là \[C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} \] \[= {{{{31}^3}} \over {2496}}.\]
LG c
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:
\[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\]
Vì
\[A,B,C \in \left[ S \right] \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ { - \frac{{31}}{2}} \right]^2} - 2a.\left[ { - \frac{{31}}{2}} \right] = 0\\
{\left[ {\frac{{31}}{{16}}} \right]^2} - 2b.\frac{{31}}{{16}} = 0\\
{\left[ {\frac{{31}}{{13}}} \right]^2} - 2c.\frac{{31}}{{13}} = 0
\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\]