Bài tập đại số tuyến tính bách khoa năm 2024

Các tác giả muốn cung cấp một số kiến thức về Toán cao cấp sát với chương trình và đối tượng để sinh viên Trường Đại học Bách khoa cũng như sinh viên các trường đại học kỹ thuật khác sử dụng. Nhất là trong điều kiện số giờ trên lớp ít ỏi thì việc tự học và nghiên cứu đối với mỗi sinh viên là rất cần thiết. Vì thế khi viết cuốn sách này các tác giả mong muốn nó là tài liệu tham khảo tốt giúp cho sinh viên tự nghiên cứu và tự học tập thông qua cách trình bày chặt chẽ, khoa học mang tính ứng dụng cao, các bài tập giải mẫu, bài tập nâng cao, đặc biệt là bài tập trắc nghiệm. Một số kết quả không chứng minh nhưng cũng được đưa ra vì tính chất đầy đủ của vấn đề. Độc giả có thể tìm thấy cách chứng minh trong các tài liệu tham khảo được nêu ra ở cuối cuốn sách.

MỤC LỤC

Chương 1 Số phức Chương 2 Ma trận - định thức Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính Chương 4 Không gian vectơ Chương 5 Ánh xạ tuyến tính Chương 6 Dạng toàn phương

(Undergraduate Texts In Mathematics) Axler, Sheldon Jay - Linear Algebra Done Right-Springer (2015).Pdf

Applied Linear Algebra.Pdf

Carl D. Meyer - Matrix Analysis And Applied Linear Algebra Book And Solutions Manual -Siam_ Society For Industrial And Applied Mathematics (2000).Pdf

David C. Lay_ Steven R. Lay_ Judith Mcdonald - Linear Algebra And Its Applications-Pearson (2015).Pdf

Cuốn tài liệu “Giải đề cương Đại số” được sưu tầm và biên soạn lại với mục đích hỗ trợ các bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có nguồn tài liệu học tập chất lượng, phục vụ cho việc ôn tập cũng như luyện thi dễ dàng hơn ở học phần Đại số tuyến tính. Cuốn tài liệu này được biên soạn lại bởi đội ngũ Tài Liệu HUST với các nguồn tài liệu:  Đề cương Đại số tuyến tính – Viện toán ứng dụng và tin học  Các tài liệu được chia sẻ trên group Hỗ trợ học tập đại cương – ĐHBKHN  Các tài liệu được chia sẻ trên group BCORN – Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa Để có thể học tập hiệu quả hơn và có định hướng học tập rõ ràng hơn bạn có thể tham khảo khóa học Đại số hoặc các khóa học khác tại website: Bcorn (Trực thuộc phòng CTSV) Trong quá trình nhóm biên soạn tài liệu cũng không thể tránh được hết tất cả những sai sót hay nhầm lẫn nên nhóm rất mong nhận được phản hồi của các bạn để tài liệu này càng hoàn thiện hơn, có ích hơn với các bạn sinh viên. Mọi đóng góp bạn có thể gửi cho nhóm qua các địa chỉ email: tailieuhustgroup@gmail MỘT SỐ KÊNH THÔNG TIN CỦA TÀI LIỆU HUST

• Website: tailieuhust/
• Facebook: facebook/tailieuhust
• Discord: discord/invite/GKkhW3D9pq
• Telegram: t/+72guyAp_ewQwYTY
• Youtube: youtube/channel/UCy4RUTy_FzQ1UhiklR9PVdw

GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHÓM NGÀNH 1

CHƯƠNG I. TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Bài 1: Lập bảng giá trị chân lý của các biểu thức mệnh đề sau a) [A  (B  C)] C

####### b) [ A  ( B  C)] B

Lời giải a. Ta có bảng giá trị chân lý A B C (B  C) A  (B  C) [A  (B  C)] C 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 b. Ta có bảng giá trị chân lý

####### A B C A B  C A ( B C ) [ A ( B  C)] B

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0

####### Bài 2. (CK 20152) Cho p, q là các mệnh đề. Hai mệnh đề ( p  q)  qvà p  qcó tương đương

logic không? Vì sao? Lời giải Ta có bảng giá trị chân lý

####### p q p  q ( p  q)  q p q

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Từ bảng giá trị chân lý ta có thể kết luận hai mệnh đề trên là tương đương logic.

Bài 3. Chứng minh rằng:

####### a) A  Bvà (A  B)  (A  B)là tương đương logic.

2. (A  B)  Cvà A  (B  C)không tương đương logic. c) A  B và A  Blà tương đương logic. Lời giải a. Ta có bảng giá trị chân lý

####### A B A B (A  B ) A  B A  B (A  B)  (A B)

0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 Vậy hai mệnh đề trên là tương đương logic b. Giả sử A = B = C = 0. Khi đó A  B= 1; (A  B)  C= 0 B  C= 1; A  (B  C)= 1 Vậy nên hai mệnh đề trên không tương đương logic. c. Ta có bảng giá trị chân lý A B A A  B A  B A B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 Vậy hai mệnh đề trên tương đương logic. Bài 4 (GK 20171). Cho các mệnh đề A, B và C thỏa mãn ( A  C )  ( B  C) và ( A  C )  ( B  C) là các mệnh đề đúng. Chứng minh rằng A  Blà mệnh đề đúng. Lời giải Ta có: ( A  C )  ( B  C) và ( A  C )  ( B  C) là các mệnh đề đúng. (1)

####### Giả sử A  Blà mệnh đề sai thì không mất tính tổng quát ta có: A  1 và B  0

C  0  A  C  1 và B  C  0  ( A  C )  ( B  C) sai (2) C  1  A  C  1 và B  C  0  ( A  C )  ( B  C) sai (3) Từ (1), (2) và (3) ta thấy rằng giả sử trên là sai nên A  Blà mệnh đề đúng.

Bài 9. Cho A, B, C , D là các tập hợp bất kì, chứng minh: a) A  ( B \ C )  ( A  B ) \ ( A  C). b) A  ( B \ A)  A  B. c) ( A \ B )  ( C \ D )  ( A  C ) \ ( B  D) ( GK20151) Lời giải

####### a. A ( B C\ )  A ( B C )  A B C

( ) \ ( ) ( ) ( ) ( ) (do ) A B A C A B A C A B A C A B A A B C A B C A A                        Vậy A  ( B \ C )  ( A  B ) \ ( A  C).

####### b. A ( B A\ )  A ( B  A)  ( A B ) ( A  A)  A  B.

Vậy A  ( B \ A)  A  B.

####### c. ( A B\ ) ( C D \ )  A  B C D

####### ( A C ) \ ( B  D)  A  C  B  D A C ( B  D) A  B  C D.

Vậy ( A \ B )  ( C \ D )  ( A  C ) \ ( B D). Bài 10. Cho hai ánh xạ f : {0} 1 x x    ; 2 g : 2 1 x x x      a. Ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, Tìm g ( ) b. Xác định ánh xạ h = g f Lời giải

a) +  1   2  1 2  1 2 

1 2 1 1 f x f x x x x , x {0} x x         f là đơn ánh.

####### Do x {0}để

1 f ( )x 0 f x      không là toàn ánh.

 1   2  1 2

1 2 2 2 1 1 x x g x g x x x      

Mà

1 4

(2)

2 5

g g

  

  

 

nên g ( x ) không là đơn ánh.

2 2

g (3)  2 x  3 x  3  3 x  2 x  3  0 (vô nghiệm) nên g ( x ) không là toàn ánh.

+ Tìm g R( )

Ta có: 2

2 | 2 | | 2 |

1

1 1 2 | |

x x x

x x x

  

 

(Cauchy)

Và  a [ 1;1]: phương trình 2 x  a  x 2  1 có nghiệm thực    4  4 a 2  0 nên g R( )  [  1;1].

b. 2

2

1

2

2

( ( ))

1

1

x x

g f g f x

x

x



  







Bài 11. Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f : X Y

a) f ( A  B )  f ( A)  f ( B ); A B,  X.

b) f (A  B)  f (A)  f (B); A, B  Xêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không đúng.

c)

1 1 1

f ( A B) f ( )A f ( );B A B , Y

  

   

d)

1 1 1

f (A B) f (A) f (B);A,B Y

  

   

e)

1 1 1

f ( A B\ ) f ( ) \A f ( );B A B , Y

  

 

Lời giải

a)  y  f ( A  B ), f ( x ) ythì x  A B

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

x A y f A

y f A f B f A B f A f B

x B y f B

   

          

   

(1)

 f ( A )  f ( A  B ), f ( B )  f ( A B)

 f ( A)  f ( B )  f ( A  B)(2)

Từ (1) và (2)  f ( A)  f ( B )  f ( A  B )  A B,  X.

b) + Ta có A  B  A  f ( A  B )  f ( A)

Tương tự f ( A  B )  f ( B)

Do đó f ( A  B )  f ( A ) f ( B)

+ Ví dụ điều ngược lại là không đúng

Xét

2

f x ( )  x , A  {2}, B { 2}

 

 f ( A)  ( ;x y )   2 || x 2  y 2  18

Xét f ( ;u v )  ( u  v u;  v )A

2 2 2 2

 ( u  v) ( u  v)  9  u v 4,

Và

2 2

u  v  4,5thì f ( u v; )A

Do vậy nên f  1 ( A)   ( ;x y )   2 ∣ x 2  y 2 4, 5.

Bài 14 (GK 20171). Cho ánh xạ

2 2

f :  , xác định bởi f ( ;x y )   x 2  y x;  y. Ánh xạ f có

là đơn ánh, toàn ánh không? Vì sao?

Lời giải

Xét    

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

; ;

x y x y x y x y

f x y f x y

x y x y x x x x

       

   

       

Ta có thể thấy f (0; 1)  f ( 1; 0)  (1;  1) f không là đơn ánh.

Bài 15. Cho tập  4 {0;1;2;3}được trang bị luật hợp thành như sau: với a b,  4 ta có

a * b  ( a  b)mod 4.

a) Chứng minh rằng * là một phép toán đóng trên  4.

b) Hỏi   4 *có phải là một nhóm không?

Lời giải

a) Ta có a b , Z 4 thì (a  b)mod4 {1;2;3;0}  Z 4

* là một phép toán đóng trên Z 4.

b)   4 ,*là một nhóm vì:

+ Tính kết hợp: ( a * b )  c  [( a  b) mod 4  c ] mod 4  ( a  b  c) mod 4 a * ( b * c)

+ Tính: có phần tử trung hòa là 0: a0  0a  a  a Z 4

+  a Z 4 đều có phần tử đối xứng: 13  2 4  0.

Bài 16. Cho G  f ,f ,f ,f ,f ,f 1 2 3 4 5 6 là tập các ánh xạ từ  \ {0;1}  \ {0;1}xác định như sau:

1 2 3 4 5 6

1 1 1

( ) ; ( ) ; ( ) 1 ; ( ) ; ( ) 1 ; ( ).

1 1

x

f x x f x f x f x f x x f x

x x x x

       

 

a. Tính f 1 f 2

b. Lập bảng để biểu diễn giá trị f 1  f 2 với mọi i j, 1...

c) Chứng minh G cùng với phép toán là phép tích ánh xạ lập thành một nhóm không Abel.

Lời giải

1. 1 2 1  2 

1 ( ) 1 f f f f x x     b)

#######  f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6

####### f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6

####### f 2 f 2 f 3 f 1 f 6 f 4 f 5

####### f 3 f 3 f 1 f 2 f 5 f 6 f 4

####### f 4 f 4 f 5 f 6 f 1 f 2 f 3

####### f 5 f 5 f 6 f 4 f 3 f 1 f 2

####### f 6 f 6 f 4 f 5 f 2 f 3 f 1

3. Do ( G , ) là phép toán đóng

• Phép hơp có tính chất kết hợp

####### + Phần tử trung hòa: f 1

####### + Phần tử đối xứng: f 1  f 1  f 2  f 3  f 4  f 4  f 5  f 5  f 6 f 1 f 1

####### Mà f 4  f 2  f 5  f 6 f 2  f 4  ( G, ) là một nhóm không Abel.

Bài 17. Nêu rõ các tập sau với các phép toán cộng và nhân thông thường có lập thành một vành, trường không? a) Tập các số nguyên lẻ. b) Tập các số nguyên chẵn. c) Tập các số hữu tỉ.

####### d) X  {a  b 2∣ a b , }.

####### e) Y  {a  b 3 ∣ a b, }

Lời giải a) Không là vành, trường (vì phép toan + không đóng kín) b) Là vành, không trường ( ( G, ) ) không là nhóm, chẳng hạn 1 2     Z c) Là trường d) là vành, không là trường ( ( G ,  )) không là nhóm, chẳng hạn 1 3 2 3 2 5 5    X

a)

3

2 1 0 1 cos 2 sin 2 ; 1; 2

1 3 3

z k k

z z z i k

z

   

        

 

b)

2 2

z  2 iz  5  0  ( z  i)  4  z  i 2

c) z 4  3 iz 2  4  0. Đặt z 2  u  u 2  3 iu 4  0

2 2

2

( 2 2)

3 5 4 4

1 1

2 2 ,

2 2

z i

u i z i

u i i

u i z i z i

     

        

             

             

 

    

d) z 6  7 z 3  8  0. Đặt 3 2

8 2

7 8 0

1 1

u z

z u u u

u z

   

       

    

e) 7 3 7 3 10

1024

z z z 1024 | z | 1024 | z| 2

z

       

2 7

4 4

7 3

| | 4 4 1024 2 2

2 2 cos sin , 0, 3

4 4

z k k

z z z i k

z z z z

  

            

 

f)

z 8 ( 3  i)   1 i

8

2 cos sin

1 4 4 1 7 7

cos sin

3 2 12 12

2 cos sin

3 3

i

i

z i

i

i

 

 

 

   

  

      

      

    

  

 

16

7 7

2 2

1 12

cos sin , 0,

2 8 8

k k

z i k

 

 

   

   

     

 

 

g)

2

iz  (1 8 ) i z  7 17 i  0

2

 z  (i 8) z  (17  7 )i  0

2 2

8 63 5 3

7 17 4 3 1

2 4 4 2

i

z i i i i

    

             

   

5

3 2

z i

z i

  

 

  

Bài 21. (GK 20141). Cho   1 , 2 , , 2014 là các căn bậc 2014 phân biệt phức của đơn vị 1. Tính

2014

2

1

i

i

A



 .

Lời giải

  1 , 2 , .,  2014 là 2014 căn bậc của 2014 của 1.

2014

2

k 1

A k



 .

Ta có

2 2

cos sin , 0, 2013

k 2014 2014

k k

i k

 

    (Quy ước  2014   0 )

2014

1

2 2

cos sin

k 1007

k k

A i

 



 

    

 



1007

1

2 2 2( 1007) 2

2 cos sin do 2

k 1007 1007 1007

k k k k

i

   





    

        

   



1007

1

2 k

k





  

Với k , k 1,1007là các căn bậc 1007 của 1. Mà

1007

k  1 nên theo Viete:

1007

1

k 0

k

 A



   .

Bài 22. Cho phương trình

( 1) 9

0

x

x

 

 .

a) Tìm các nghiệm của phương trình trên.

b) Tính môđun của các nghię̂m.

c) Tính tích của các nghiệm từ đó tính

8

1

sin 9

k

k 



.

Lời giải

a)

2 2

1 cos sin , 1, 8

9 9

k

k k

x i k

 

     (Đặt x  4  t)

b)

2 2

2 2

1 cos sin 2sin

9 9 9

k

k k k

x

    

       

   

c)

8 8

8

1 1 1

1

sin 9

2 2

k

k

k

k k k

k x

x



  

    

Mà xk , k  1,8là nghiệm của

9

1

9

1

( 1) 1

0 i i 0

i

x

C x

x





 

     nên theo Viete

8

1

k 9

k

x



  

8

8

1

9

sin 9

k 2

k 



  

Bài 23 (CK 20161). Cho ánh xạ

2

f :   , f z( )  iz  (4  i z)  9 ivới i là đơn vị ảo. Xác định

1

f ({7})



Lời giải

Ta có:

2

iz  (4 i z )  9 i  7

2

 z (1  4 )i z  (7i 9)  0

CHƯƠNG II. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Cho các ma trận

1 3 2 2 1 1

1 1 2

A 2 1 1 , B 2 3 0 , C

2 4 2

0 3 2 1 2 4

    

     

      

    

     

    

.

Trong các phép toán sau: , , , ( ), ( 3 ).

T T

BC A  BC A B  C A BC A  B C



,phép toán nào thực hiện

được. Nếu thực hiện được cho biết kết quả.

Lời giải

Các phép toán có thể thực hiện được là: B C. T; ( 3 ).

T

A  B C

2 1 1 1 2 1 6

. 2 3 0 1 4 5 8

1 2 4 2 2 9 2

B C T

      

       

     

       

1 3 2 2 1 1 7 0 5

3 2 1 1 3 2 3 0 4 10 1

0 3 2 1 2 4 3 9 10

A B

      

     

           

      

7 0 5 1 2 3 4

( 3 ). 4 10 1 1 4 12 34

3 9 10 2 2 26 22

A B C T

      

          

     

       

Bài 2 (CK 20152). Cho

1 3 1 0

A , B

1 2 1 1

    

    

    

và E là ma trận đơn vị cấp 2

a) Tính F  A 2  3 A

b) Tìm ma trận X thỏa mãn  A 2  5 E  X  BT  3 A A 2 

Lời giải

a)

2

2 1 3 2 9 23 5

1 2 3 1 0 5

A A A E

       

           

        

b) Theo câu a ở trên ta có:

2 2 2

A  3 A  5 E  0  A  5 E  3 , 3A A  A  5 E

 Cần tìm X thỏa mãn: 1

5

3 .5 ,

3

AX  B T E  X  A  BT (do det A  0 )



1

2 1

5 1 3 1 03

3 1 2 0 1 1 2

3 3

X



   

     

       

       

 

Bài 3. Cho ma trận

1 2 3

2 4 1

3 5 3

A

  

   

 

  

và đa thức

2

f x ( )  3 x  2 x 5. Tính f ( A).

Lời giải

2 2

1 2 3 6 9 10 21 23 24

2 4 1 3 7 5 ( ) 3 2 5 13 34 13

3 5 3 2 1 13 0 7 38

A A f A A A E

        

                 

     

       

Bài 4. Tính An với

a)

cos sin

sin cos

a a

A

a a

  

  

 

. b)

1 0

0 1

0 0

a

A a

a

 

  



 

.

Lời giải

a)

cos sin

sin cos

ka ka

A

ka ka

  

  

 

. Quy nạp

cos sin

sin cos

A n na na

na na

  

  

 

 n 1. Đúng.

+ Giả sử mệnh đề đúng với n  k *

1 cos sin cos sin cos( 1) sin( 1)

sin cos sin cos sin( 1) cos( 1)

A k ka ka a a k a k a

ka ka a a k a k a

            

     

       

Mệnh đề đúng với k  1.

Vậy

cos sin

sin cos

A n na na

na na

  

  

 

.

b) 3

1 0

0 1. ,

0 0

a

A a a I B I

a

 

 

   

 

là ma trận đơn vị cấp 3,

0 1 0

0 0 1

0 0 0

B

 

 

  

 

Nhận xét

2

0 0 1

0 0 0 ; 0 3

0 0 0

k

B B k



 

 

     

 

 

1 0 1 1 2 2 2

3

0

.........

n n

n i n i n n n

n n n n

i

A B a I C B a I C a C B a C B a

  



       

1 2 2

1 2 2 2 1

( 1)..

. 0 ( 1).

0 0 ( 1

....

)

n n n

n

n n n n n

n

n

n a n a C a

a I n a B C a B n a n a

n a

 

  

  

 

      

  

 

Bài 5. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn:

2

#######  ( a  d)  0  A  0

 ( a  d )  0  Ak  2  A 2  ( a  d A)  0  Ak 1 0.   Tương tự cách làm ở trên  A 2  0 Bài 7. Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh: a) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 a b x a b x c a b c a b x a b x c x a b c a b x a b x c a b c         b) 2 2 2 1 a bc 1 a a 1 b ac 1 b b 1 c ab 1 c c . Lời giải

a)  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b x a b x c a b x a c a b x a b x c a b x a c C C C a b x a b x c a b x a c            

 

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 3 3 3 3 2 2 a b x a c b a c a b x a c x b a c C C C a b x a c b a c        1 1 1 2 2 2 3 3 3 2. a b c x a b c a b c  

b)  2 3 3 

1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) a bc a a b c c bc b ac b b a b c ac C a b c C C c ab c c a b c ab            

 

2 2 1 3 3 2 1 1 ( ) 1 a a b b C ab bc ca C C c c        Bài 8. Tính các định thức sau: a) 1 3 5 1 2 1 1 4 5 1 1 7 7 7 9 1 A      b) 2 2 2 2 2 2 a b ab a b B b c bc b c c a ca a c        c) 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 D 2 3 1 5 2 3 1 9 x x    Lời giải