Cuốn sách TỐI ƯU PHI TUYẾN – Lý thuyết và phương pháp giải này tập trung trình bày những nội dung cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và các phương pháp thường dùng để giải các bài toán tối ưu phi tuyến có hay không có ràng buộc.
Nội dung sách được chia thành bốn phần chính, có thể đọc độc lập với nhau tùy theo nhu cầu học tập, nghiên cứu. Phần cuối liệt kê một số tài liệu tham khảo, đưa ra đáp án các bài tập ở cuối mỗi chương và danh mục từ khóa tra cứu. Sách có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên, tài liệu tham khảo, học tập cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh về một số chuyên đề gần nhau như: Giải tích lồi, Lý thuyết tối ưu, Quy hoạch phi tuyến, v.v..
BÀI TẬP TỐI ƯU HÓA
Tập lồi, Hàm lồi
Câu 1. Cho ví dụ về các tập lồi và tập không lồi.
Câu 2. Chứng tỏ rằng tập lồi đa diện được cho bởi tập nghiệm của phương trình
tuyến tính
a1x1+a2x2+a3x3+a4x4\=a5
với a1, ..., a4, a5là các số thực có tính chất là nếu hai điểm xvà ylà hai nghiệm khác
nhau, thì cả đường thẳng nối hai điểm này đều là nghiệm.
Câu 3. Chứng minh rằng các nửa không gian và các siêu phẳng là các tập lồi. Từ đó
chỉ ra rằng tập lồi đa diện cũng là một tập lồi.
Câu 4. Cho Alà một ma trận có cỡ m×n. Chứng minh rằng:
- Tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính Ax ≤b, x ≥0, với b∈Rmlà
một tập lồi đa diện.
- Chuyển hệ Ax ≤b, x ≥0về dạng By \=d, y ≥0.
Câu 5. Chứng minh rằng giao của một họ bất kì các tập lồi là lồi.
Câu 6. Cho S⊆Rn. Chứng minh rằng bao lồi của Slà giao của tất cả các tập lồi
chứa S
Câu 7. Cho A, B là các tập lồi thì tổng của hai tập này là tập
C:= {x:x\=a+b, a ∈A, b ∈B}
và tích của các tập này là tập
D:= {z\= [x, y] : x∈A, y ∈B}
cũng là tập lồi.
Câu 8. Cho kđiểm x1, ..., xkthuộc tập lồi C. Chứng minh rằng tổ hợp lồi của kđiểm
này, tức là điểm x:= ∑k
j\=1 tjxj, với bất kỳ ksố tj≥0có tổng bằng 1, cũng thuộc C.
Câu 9. Cho a, b, c ∈Rn. Chứng minh rằng tập các điểm gần ahơn b, c, tức là tập
V\={x∈R2:∥x−a∥ ≤ ∥x−b∥;∥x−a∥ ≤ ∥x−c∥}
là một tập lồi đa diện.