Lý thuyết và bài tập chuyên đề đa thức một biến
Lý thuyết và bài tập chuyên đề đa thức một biến
Đa thức một biến
I.Lý thuyết:
1. Đa thức một biến
Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
Lưu ý: Một số được coi là đa thức một biến .
2. Biến của đa thức một biến
Bậc của đa thức một biến khác đa thức không [đã thu gọn] là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó.
3. Hệ số, giá trị của một đa thức
a] Hệ số của đa thức
Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất
Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.
b] Giá trị của đa thức f[x] tại x = a được kí hiệu là f[a] có được bằng cách thay x = a vào đa thức f[x] rồi thu gọn lại.
II. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính A[5], B[-2], với A[y] và B[x] với các đa thức sau.
a] A[y] = 7y2 – 3y + \[\frac{1}{2}\]
b] B[x] = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + \[\frac{1}{2}\]
Hướng dẫn
- Ta có: A[y] = 7y2 – 3y + \[\frac{1}{2}\]
A[5] là giá trị của đa thức A[y] tại y = 5
⇒ A[5] = 7. 52 – 3.5 + \[\frac{1}{2}\]
= 7. 25 – 15 + \[\frac{1}{2}\] = 175 – 15 + \[\frac{1}{2}\]
= 160 + \[\frac{1}{2}\] = 160\[\frac{1}{2}\]
Và: B[x] = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + \[\frac{1}{2}\]
Trước hết, ta rút gọn B:
B[x] = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + \[\frac{1}{2}\]
B[x] = [2x5 + 4x5] – 3x + 7x3 + \[\frac{1}{2}\]
B[x] = 6x5 – 3x + 7x3 + \[\frac{1}{2}\]
[-2] là giá trị của đa thức B[x] tại x = -2
⇒ B[-2] = 6. [-2]5 – 3.[-2] + 7 .[-2]3 + \[\frac{1}{2}\]
= 6. [-32] – [-6] + 7. [-8] + \[\frac{1}{2}\]
= - 192 + 6 – 56 + \[\frac{1}{2}\] = - [192 – 6 + 56] + \[\frac{1}{2}\]
= - 242 + \[\frac{1}{2}\] = [- 484]/2 + \[\frac{1}{2}\]
= [-484 + 1]/2 = [-483]/2
Bài 2: Tìm bậc của đa thức A[y], B[x] nêu trên.
Hướng dẫn:
- Ta có: A[y] = 7y2 – 3y + \[\frac{1}{2}\]
Đa thức A[y] có 3 hạng tử là:
7y2 có bậc 2, - 3y có bậc 1 ,\[\frac{1}{2}\] có bậc 0
Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
Hạng tử có bậc cao nhất là 7y2 có bậc 2
⇒ Bậc của đa thức A[y] là 2
- Ta có: B[x] = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + \[\frac{1}{2}\] = 6x5 – 3x + 7x3 + \[\frac{1}{2}\]
Sau khi rút gọn, đa thức B[x] có 4 hạng tử là:
6x5 có bậc 5, – 3x có bậc 1
7x3 có bậc 3 ,\[\frac{1}{2}\] có bậc 0
Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
Hạng tử có bậc cao nhất là 6x5 có bậc 5 ⇒ Bậc của đa thức B[x] là 5
Bài 3: Hãy sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:
Q[x] = 4x3 – 2x + 52 - 2x3 + 1 - 2x3
R[x] = -2 + 2x4 + 2x - 3x4 – 10 + x4
Hướng dẫn
Trước hết, ta rút gọn các đa thức:
- Q[x] = 4x3 – 2x + 52 - 2x3 + 1 - 2x3
Q[x] = [4x3- 2x3- 2x3] – 2x + 52 + 1
Q[x] = 0 – 2x + 52 + 1
Q[x] = – 2x + 52 + 1
- R[x] = - 2 + 2x4 + 2x - 3x4 – 10 + x4
R[x] = - x2 + [2x4 - 3x4 + x4] + 2x – 10
R[x] = - x2 + 0 + 2x – 10
R[x] = - x2 + 2x – 10
Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến ta có:
Q[x] = 52 – 2x + 1
R[x] = - x2 + 2x – 10
Bài 4: Cho đa thức Q[x] = x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x – 1
a] Sắp xếp các hạng tử của Q[x] theo lũy thừa giảm của biến.
b] Chỉ ra các hệ số khác 0 của Q[x].
Hướng dẫn:
a] Thu gọn Q[x] = 4x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 – 4x – 1
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến:
Q[x] = – 5x6 + 2x4 + 4x3 + 4x2 – 4x – 1
b] Hệ số lũy thừa bậc 6 là – 5
Hệ số lũy thừa bậc 4 là 2
Hệ số lũy thừa bậc 3 là 4
Hệ số lũy thừa bậc 2 là 4
Hệ số lũy thừa bậc 1 là –4
Hệ số lũy thừa bậc 0 là –1
Bài 5: Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1.
Hướng dẫn
Có vô số đa thức thỏa mãn điều kiện trên, đó là:
Đa thức bậc nhất: 5x - 1
Đa thức bậc hai: 5x2 - 1
Đa thức bậc ba: 5x3 - 1
Đa thức bậc bốn: 5x4 - 1
...........................
Tổng quát: Đa thức bậc n [n là số tự nhiên]: 5xn - 1
III.Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho đa thức f[x] = 2x –
Thu gọn đa thức f[x].
Tính giá trị của f[x] khi x = –3/2.
Bài 2: Cho đa thức f[x] = 2x –
Thu gọn đa thức f[x].
Tính giá trị của f[x] khi x = –3/2.
Bài 3: a] Cho đa thức f[x] =
b] Biết đa thức f[x] =
Bài 4: Cho đa thức f[x] = a
Bài 5: Cho đa thức bậc hai: f[x] = a
Biết a + b + c = 0. Chứng minh f[x] có một nghiệm là x = 1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f[x] = 8
Biết a – b + c = 0. Chứng minh f[x] có một nghiệm là x = –1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f[x] = 7
Bài 6: a] Cho đa thức f[x] = ax + b [a ≠ 0]. Chứng minh rằng nếu có hai số
b] Chứng minh rằng nếu đa thức f[x] = ax + b có hai nghiệm
Bài 7: Cho đa thức f[x] =
Thu gọn đa thức f[x].
Tìm a và b của đa thức g[x] biết rằng g[x] = 0 tại x = 1 và x = 4.
Chứng minh: g[x] = [1 – x][x – 4].
Viết đa thức h[x] = f[x] + g[x] thành một tích.
Tìm nghiệm của h[x]. [Tìm đủ các nghiệm]
Bài 8: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm trên tập hợp R:
a] f[x] = – 2
b] g[y] = –
c] h[x] = |x + 3| + |5 – x| + 7.
Bài 9: Cho hai đa thức f[x] =
Bài 10: Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận được sau khi đã khai triển và viết đa thức dưới dạng thu gọn:
f[x] = [
g[x] = [
Chúc các bạn học tốt.