Bài tập tính độ võng và góc xoay năm 2024

Preview text

####### HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

####### CHƯƠNG 7 - THANH CHỊU UỐN PHẲNG

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-1. Biết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật

không đổi với chiều cao h gấp 1,5 lần chiều rộng b; các tải trọng q=20kN/m,

P=40kN, M=20kN, kích thước mỗi đoạn a=0,7m; dầm làm bằng thép có ứng suất

cho phép []=16kN/cm

2 và mô đun đàn hồi E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn

nhất.

1. Xác định độ võng của mặt cắt ngang tại A theo các kích thước tìm được.

Hình 7-

Hướng dẫn

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn

nhất.

• Trạng thái ứng suất đơn được tính cho mặt cắt ngang nguy hiểm tại ngàm B có mô

men uốn |Mx|max=60,5kN.

• Xác định KT MCN theo điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn:

max max max max 3 max 2 2 2

| | | | 6.| | 6.| | [ ] . .[1,5. ] 1,5 .[ ]

6

x x x x

x

M M M M b W b h b b

        

2 3 2

6,5. 10 1,5.

b   cm với b=10cm suy ra h=15cm.

• Trạng thái trượt thuần túy được tính cho mặt cắt ngang nguy hiểm tại ngàm B có lực

cắt |Qy|max=54kN.

• Kiểm tra bền cho trạng thái trượt thuần túy theo kích thước tìm được:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

####### [ ] 16 2

[ ] 8kN/cm 2 2

####### 

#######    

max max 2 max

####### 3 | | 3 | | 3 54

... 0,54kN/cm [ ] 2 2. 2 10.

y y

####### Q Q

F b h

       Thỏa mãn điều kiện

KL: Vậy chọn b=10cm và h=15cm là thỏa ĐKB.

1. Xác định độ võng của mặt cắt ngang tại A theo các kích thước tìm được.

• Cách 1- Áp dụng phương pháp thông số ban đầu:

Lập bảng thông số

4 4 ' ' 1 0 0 1 0 0

####### 1.

####### . .[ ].. ; 0

####### 4! 24

x x

z q z y y y z q y y y z z a EJ EJ

#######           [1]

3 4

2 1

3 4 4 ' 2 0 0

####### 1 [ ] 1 [ ]

####### [ ]...

####### 3! 4!

####### .[ ] [ [ ] ]

. ; a 2 6 24

x x

x x

z a z a y y P q EJ EJ

P z a q z z a y y y z z a EJ EJ

#######  

#######    

#######   

#######       

2

3 2

2 3 4 4 ' 3 0 0

####### 1 [ 2 ]

####### .

####### 2!

####### .[ 2 ] .[ ] [ [ ] ]

. ; 2a 3 2 6 24

x

x x x

z a y y M EJ

M z a P z a q z z a y y y z z a EJ EJ EJ

####### 

#######  

#######    

#######        

2 3 3 ' 3 0

####### .[ 2 ] .[ ] [ [ ] ]

; 2a 3

x 2 x 6 x

M z a P z a q z z a y z a EJ EJ EJ

#######    

#######        

z = 0 z = a z =2 a

y 0 =? y = 0 y = 0

y

’ 0 =? y

’ = 0 y

’ = 0

####### M 0 = 0 M = 0 M = M

####### Q 0 = 0 Q = -P Q = 0

q 0 = -q q = q q = 0

q

’ 0 = 0 q

’ = 0 q

’ = 0

2 2 2 2 1

####### 1 343

####### 0,7,9 .10..

####### 3 3

   kN cm ;

2 2 2 2 2  0,7,9 .10 343 . kN cm ;

2 2 2 2 3

####### 1

####### 0,7.[42,7 4,9].10 .10 1323..

####### 2

    kN cm ;

2 2 2 2   4 0,7,7 .10 1589 . kN cm

2 2 2 2 5

####### 1

####### 0,7.[60,5 22,7].10 .10 1323..

####### 2

    kN cm ;

2 2 1

####### 2 7

####### .2,1.

####### 9 15

a   cm ;

2 2 2

####### 1 21

####### .2,1.

####### 2 20

a   cm ;

2 2 3

####### 5 7

####### .2,1.

####### 9 6

a   cm ;

2 2 4

####### 5 7

####### .2,1.

####### 6 4

a   cm ;

2 2 5

####### 8 28

####### .2,1.

####### 9 15

a   cm

b 1  b 2  b 3  b 4  b 5  1

3 4 10 1125 5 2 2... 12 2

EJx   kN cm

4 5

1 5

####### 343 7 21 7 7 28

####### . 343. 1323. 1589. 1323..

####### 1 3 15 20 6 4 15

. = 1,28cm 1125 . 2

A i i xi

y a EJ 

#######  

#######      

#######  

  

2 5 3

1 5

####### 343

####### .1 343 1323 1589 1323.

####### 13

####### . 8,34.

####### 1125

####### .

####### 2

A i i xi

b rad EJ





#######  

#######     

#######  

#######  

     

KL: Độ võng của MCN tại A: yA  y 0 1,28 cm ;

Góc xoay của MCN tại A:

' 3 0

####### 8,34.

A y rad

    .

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-2. Biết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật

không đổi với chiều cao h gấp 1,5 lần chiều rộng b; các tải trọng q=10kN/m,

P=30kN, M=10kN, kích thước mỗi đoạn a=0,8m; dầm làm bằng thép có

[]=16kN/cm

2 và E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi

hình dáng lớn nhất.

1. Xác định độ võng của mặt cắt ngang tại A theo các kích thước tìm được.

Hình 7-

Hướng dẫn

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình

dáng lớn nhất.

• Trạng thái ứng suất đơn được tính cho mặt cắt ngang nguy hiểm tại ngàm B có mô

men uốn |Mx|max=30kN.

• Xác định KT MCN theo điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn:

max max max max 3 max 2 2 2

| | | | 6.| | 6.| | [ ] . .[1,5. ] 1,5 .[ ]

6

x x x x

x

M M M M b W b h b b

        

2 3 2

1. 7, 1,5.

b   cm chọn b=8cm suy ra h=12cm.

• Trạng thái trượt thuần túy được tính cho mặt cắt ngang nguy hiểm tại ngàm B có lực

cắt |Qy|max=38kN.

• Kiểm tra bền cho trạng thái trượt thuần túy với kích thước tìm được:

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:

####### [ ] 16 2

[ ] 9,24kN/cm 3 3

####### 

#######    

max max 2 max

####### 3 | | 3 | | 3 38

... 0,59 kN/cm [ ] 2 2. 2 8.

Qy Qy

F b h

       Thỏa mãn điều kiện

KL: Vậy chọn b=8cm và h=12cm là thỏa ĐKB.

Bài 7. Cho dầm AB có mặt cắt ngang không đổi có kích thước, liên kết và chịu lực

như trên hình 7-5. Biết: a=1m; q=10kN/m; P=qa; M=qa

2 và vật liệu làm dầm có

[k]=8kN/cm

2 , [n]=16kN/cm

2 .

Hình 7-

1. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm AB.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm [b=?] theo điều kiện bền ứng suất

pháp [Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất - Thuyết bền 1].

Hướng dẫn

1. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm AB.

1. Xác định kích thước mặt cắt ngang của dầm [b=?] theo

điều kiện bền ứng suất pháp [Thuyết bền ứng suất pháp lớn

nhất - Thuyết bền 1].

• Xác định trọng tâm C[xc,yc] của mặt cắt:

c

1 c1 2 c c 1 2

x 0F F .y 14b.6b 8b.4by 7,62bF F 14b 8b      

• Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm xCy.
• Tính mô men quán tính của MCN đối với trục x:

3 2 2 x[1] xC[1] 1 1

6b.[14b]J J F 6b.[0,62b]12   

4 x[1]

J 1404,29

3 2 2 x[2] xC[2] 2 2

4b.[8b]J J F .d 4b.[1,62b]12   

4 x[2]

J 254,65

4 4 4 x x[1] x[2]

J J J 1404,29 254,65 1149,64 

• Tính các mô men chống uốn đối với trục x:
• Phần diện tích phía trên trục x:

4 t x 3 x t

J 1149,64w 180,19y [14b 7,62b]  

• Phần diện tích phía dưới trục x:

4 d x 3 x d

J 1149,64w 150,87y 7,62b  

Từ kết quả biểu đồ Mx ta nhận thấy mặt cắt nguy hiểm có xmax

M 21,25kNà

phần trên trục x chịu nén, phần dưới trục x chịu kéo.

Theo điều kiện bền ứng suất pháp lớn nhất:

xmax xmax xmax k k d k 3 k max k x x

min n xmax xmax xmax

n n t n 3 n x x

M M M [ ] [ ] [ ] [ ] w w 150,87 [ ] M M M [ ] [ ] [ ] w w 180,19                                         

2 xmax 33

k

2 xmax 3 3

n

M 21,25.b b 1,21cm150,87.[ ] 150,87.M 21,25.b b 0,74cm180,19.[ ] 180,19.            

KL: Vậy chọn b=1,3cm là thỏa mãn ĐKB.

1. Kiểm tra bền cho dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

• Kiểm tra bền theo trạng thái ứng suất đơn cho mặt cắt ngang tại C có mô men uốn

|Mx|max=27,5kN.

2 max 22 max

| | 27,5. 11,957kN/cm [ ] 16kN/cm 230

x

x

M

W

       Thỏa mãn điều kiện

• Kiểm tra bền theo trạng thái trượt thuần túy cho mặt cắt ngang tại C có lực cắt

|Qy|max=28,611kN.

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

####### [ ] 16 2

[ ] 8kN/cm 2 2

####### 

#######    

max 2 max

####### | |. 28,611.

2,774kN/cm [ ] . 2530,

y x

x

####### Q S

J d

      Thỏa mãn điều kiện

• Kiểm tra bền theo trạng thái ứng suất phức tạp cho mặt cắt ngang tại C có mô men

uốn |Mx|max=27,5kN và |Qy|max=28,611kN.

2 max 2 1

[ 2. ] | | [22 2,86] 27,5. . 11,022kN/cm 22 230

x

x

h t M

h W

     

2 2 2 1

| | 28,611 22 0, . 130 0,86. 2,192kN/cm . 2 2 2530,53 2 2

y x x

Q h d S t J d

                           

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2 2 2 2 2       td 1 4. 1 11,022 4,192 11,862kN/cm [ ]    Thỏa mãn điều kiện

KL: vậy dầm đảm bảo an toàn về độ bền.

1. Xác định độ võng và góc xoay của mặt cắt ngang tại B.

• Áp dụng phương pháp tích phân:
• Đoạn 1 [đoạn AC]: 0   z 3 a

" 1 2 1

1 1 . 2

x A x x

M y Y z q z EJ EJ

          

####### ;

' 2 2 3 1 1 1

1 1 1 1 1 .. 2 2 6

A A x x

y Y z q z dz Y z q z a EJ EJ

                     



2 3 3 4 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 ... 2 6 6 24

A A x x

y Y z q z a dz Y z q z a z b EJ EJ

                     



• Đoạn 2 [đoạn CB]: 3 a z   4 a

 

" 2 2

" 2 2

####### 1

####### .3 [ 1,5 ] [ 3 ]

####### 1

####### [ 3. ] 4,5. 3.

x A C x x

A C C x

####### M

y Y z q a z a Y z a EJ EJ

y Y Y q a z q a Y a EJ

#######        

#######         

#######  

' 2 2 2

2 2 2 2

####### 1

####### [ 3. ] 4,5. 3.

####### 1 1

####### [ 3. ] [4,5. 3. ]

####### 2

A C C x

A C C x

y Y Y q a z q a Y a dz EJ

Y Y q a z q a Y a z a EJ

#######           

#######  

#######  

#######         

#######  

#######  



2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

####### 1 1

####### [ 3. ] [4,5. 3. ]

####### 2

####### 1 1 1

####### [ 3. ] [4,5. 3. ].

####### 6 2

A C C x

A C C x

y Y Y q a z q a Y a z a dz EJ

y Y Y q a z q a Y a z a z b EJ

#######  

#######        

#######  

#######  

#######  

#######         

#######  

#######  



• Xét điều kiện biên:
• Tại A: z   0 y 1   0 b 1  0 ;
• Tại C: 1 2 1 2 z  3 a  y 0; 0; y     ;

3 4 3 2 1[ 3 ] 1 1

3 2 2 1

####### 1 1 27 3

####### 0 [3 ] .[3 ] .3 0.

####### 6 24 24 2

####### 27.10,5 3,389,

####### 17,.

####### 24 2

z a A A y Y a q a a a a q a Y a

a kN m



#######        

#######     

2 3 3 2 1[ 3 ] 2[ 3 ]

2 2 2

1 1 1 27 3[3 ] .[3 ].2 6 24 21 1[ 3. ][3 ] [4,5. 3. ]2

z a z a A A x

A C C x

Y a q a q a Y aEJY Y q a a q a Y a a aEJ

 

                   

2 3

2

2 3 2 2

####### [9 3 ] 27.

####### 2 8

####### [9,611 3,389].1,5 27.10,

####### 272,.

####### 2 8

YC Y aA q a a

a kN m

####### 

#######   

####### 

#######    

3 2 2 2[ 3 ] 2 2

1 10 [ 3. ][3 ] [4,5. 3. ][3 ] .[3 ] 06 2

z a A C C

y Y Y q a a q a Y a a a a b



        

2 3 3 2 2 2

3 4 2

3 4

2

3 2

1 1 [9 3 ] 27. [ 3. ][3 ] [4,5. 3. ][3 ] .3. 6 2 2 8

9 27 .. 2 8

9,611,5 27.10,

2 8

491,.

C A A C C

C

Y Y a q a b Y Y q a a q a Y a a a a

b Y a q a

b

b kN m

         

   

   

  

Ta có:

4 4 2 2  EJx 2 .2530 5060 . kN cm 5060. kN m

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-9. Biết dầm có mặt cắt ngang chữ I số hiệu

N

0 -20a có h=20cm, b=11cm, d=0,52cm, t=0,83cm, JX=1970cm

4 , WX=197cm

3 ,

SX=111cm

3 ; các tải trọng q=12kN/m, P=15kN, kích thước a=1,5m; dầm làm bằng

thép có []=16kN/cm

2 và E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Kiểm tra bền cho dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

1. Xác định độ võng và góc xoay của mặt cắt ngang tại B.

Hình 7-

Sinh viên tự giải

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-10. Biết dầm có mặt cắt ngang chữ C số hiệu

N

0 -24 có h=24cm, b=9cm, d=0,56cm, t=1,0cm, JX=2900cm

4 , WX=242cm

3 ,

SX=139cm

3 , Z 0 =2,42cm; các tải trọng q=10kN/m, M=15kN, kích thước a=1,5m;

dầm làm bằng thép có []=16kN/cm

2 và E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Kiểm tra bền cho dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

1. Xác định độ võng và góc xoay của mặt cắt ngang tại B.

Hình 7-

Hướng dẫn

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Kiểm tra bền cho dầm theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

• Kiểm tra bền theo trạng thái ứng suất đơn cho mặt cắt ngang có mô men uốn đạt cực

trị |Mx|max=18,363kN.

2 max 22 max

| | 18,363. 7,59kN/cm [ ] 16kN/cm 242

x

x

M

W

       Thỏa mãn điều kiện

• Kiểm tra bền theo trạng thái trượt thuần túy cho mặt cắt ngang tại C có lực cắt

|Qy|max=25,833kN.

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-12. Biết dầm có mặt cắt ngang chữ C số hiệu

N

0 -24 có h=24cm, b=9cm, d=0,56cm, t=1,0cm, JX=2900cm

4 , WX=242cm

3 ,

SX=139cm

3 , Z 0 =2,42cm; các tải trọng q=15kN/m, M=12kN, chiều dài dầm a=4m;

dầm làm bằng thép có []=16kN/cm

2 và E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Kiểm tra bền cho dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất

1. Xác định độ võng của mặt cắt ngang tại điểm giữa theo chiều dài dầm.

Hình 7-

Sinh viên tự giải

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-13. Biết P 1 =12,5kN, q 1 =11kN/m, a=1m, dầm

có mặt cắt ngang hình chữ nhật đặt đứng với h=2b; vật liệu có []=16kN/cm

2 ,

####### E=2.

4 kN/cm 2 .

1. Xác định phản lực liên kết tại các gối đỡ và vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước h và b của mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất

pháp.

1. Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm; tính độ võng và góc xoay

của mặt cắt ngang tại đầu tự do B theo giá trị h và b xác định được.

Hình 7-

Hướng dẫn:

1. Xác định phản lực liên kết tại các gối đỡ và vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước h và b của mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp.

• Theo điều kiện bền ứng suất pháp ta chỉ cần xác định kích thước của MCN theo

trạng thái ứng suất đơn. MCN nguy hiểm tại C có mô men uốn |Mx|max=25kN.

max max max 3 max max 2 2 2

| | | | 6.| | 6.| | [ ] . .[2. ] 2 .[ ]

6

x x x x

x

M M M M b W b h b b

        

2 3 2

1. 6,

b   cm.

KL: Vậy chọn b=6,2cm và h=12,4cm là thỏa ĐKB.

2 ' 1 2 2 1

2 1 2 1 2 2

####### 1 16.

####### [ 2. ]. 4.

####### 3

####### 1 2. 16.

####### . 4..

####### 2 3

A C C x

A C C x

q a y Y Y q a z Y a dz EJ

Y Y q a q a z Y a z a EJ

#######  

#######           

#######  

#######      

#######          

#######    



2 1 2 1 2 2

2 1 3 1 2 2 2 2

####### 1 2. 16.

####### . 4..

####### 2 3

####### 1 2. 1 16.

####### .. 4...

####### 6 2 3

A C C x

A C C x

Y Y q a q a y z Y a z a dz EJ

Y Y q a q a y z Y a z a z b EJ

#######      

#######         

#######    

#######      

#######           

#######    



• Xét điều kiện biên:
• Tại A: z   0 y 1   0 b 1  0

####### ;

• Tại C: z  4 a  y 1 0; 0; y 2     1 2 ;

3 1 5 3 2 1[ 4 ] 1 1 1

3 2 2 1

####### 8 8

####### 0 .[4 ] .[4 ] .4 0.

####### 6 480 15 3

####### 8.11 8,083.

####### 2,.

####### 15 3

A z a A

Y q y a a a a a q a Y a a

a kN m



#######        

#######    

2 1 4 1[ 4 ] 2[ 4 ] 1

2 1 2 1 2

1.[4 ] .[4 ]2 961 2. 16..[4 ] 4. .[4 ]2 3

A z a z a x

A C C x

Y qa a aEJ aY Y q a q aa Y a a aEJ

 

                        

2 3 2 1 1

2 3 2 2

####### 8. 8.

####### 8,417 8.11 2,979 182,.

a Y aC q a a

a kN m

#######    

#######     

2 1 3 1 2 2[ 4 ] 2 2

3 1 2 2

3 3 2

2. 1 16.0 .[4 ]. 4. .[4 ] .[4 ] 06 2 364 32 64. ]4.364,417 32,083 64.11].4,315 262,.3

A C z a C

C A

Y Y q a q ay a Y a a a a bY Y q a ab a ab kN m



                    

Ta có:

3 3 4 6,2,4 4 2 2 . 2. 1970. 1970. 12 12

x

bh  EJ  E   kN cm  kN m

5 3

1

1 11. 1,083. 2,979. 1970 480 6

z z y z

       

 

với z tính theo đơn vị là m.

4 2

1

1 55. 1,083. 2, 1970 480 2

 z z        

 

với z tính theo đơn vị là m.

3 2

2

####### 1 25. 75.

####### 182,315. 262,

####### 1970 12 2

z z y z

#######  

#######       

#######  

với z tính theo đơn vị là m.

2

2

####### 1 25.

####### 75. 182,

####### 1970 4

z z

#######  

#######       

#######  

với z tính theo đơn vị là m.

Tại B: z 6 6 6 a   m

Độ võng của MCN tại B:

3 2

2[ 6]

####### 1 25 75.

####### 182,315 262,58 0,035 3,

####### 1970 12 2

B z y y m cm 

#######  

#######        

#######  

#######  

Góc xoay của MCN tại B:

2 0 2[ 6]

####### 1 25.

####### 75 182,315 0,022 1,

####### 1970 4

B z  rad

#######  

#######         

#######  

Bài 7. Cho dầm chịu uốn như hình 7-14. Biết P 1 =16,5kN, q 1 =21kN/m, a=1m, dầm

có mặt cắt ngang hình chữ nhật đặt đứng với h=2b; vật liệu có []=16kN/cm 2 ,

####### E=2.

4 kN/cm

2 .

1. Xác định phản lực liên kết tại các gối đỡ và vẽ biểu đồ nội lực cho dầm.

1. Xác định kích thước h và b của mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất

pháp.

1. Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm; tính độ võng và góc xoay

của mặt cắt ngang tại đầu tự do B theo giá trị h và b xác định được.

Hình 7-

Sinh viên tự giải