\[\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\]
Vậy \[x = 1,y = 125\].
4. Tổng n số hạng đầu
\[{S_n} = \dfrac{{u_1}[{q^n} - 1]} {q - 1}\] \[= \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^n}} \right]}}{{1 - q}}\], \[[q ≠ 1]\].
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = 5,q = 3\]. Tính \[{S_{10}}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^{10}}} \right]}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left[ {1 - {3^{10}}} \right]}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left[ {{3^{10}} - 1} \right]}}{2}\end{array}\]
5. Bài tập về cấp số nhân
Bài 1. Cho cấp số nhân $\left[ {{u_n}} \right]$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
- $q = - 4\,.$
- $q = 4.$
- $q = - 12.$
- $q = 10.$
Lời giải: Vì \[\left[ {{u_n}} \right]\] là cấp số nhân nên \[q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\].
Chọn đáp án A
Bài 2. Cho cấp số nhân $\left[ {{u_n}} \right]$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
- ${u_3} = 12.\,\,\,\,$
- ${u_3} = - 12.$
- ${u_3} = 16.$
- ${u_3} = - 16.$
Lời giải: Ta có:
\[{u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \] \[\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\]
Chọn đáp án A.
Bài 3. Cho cấp số nhân $\left[ {{u_n}} \right]$, biết: ${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
- ${S_5} = - 512$
- ${u_5} = 256$
- ${u_5} = - 512$
- $q = 4$
Lời giải: Ta có:
${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$
Do đó \[{u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left[ { - 4} \right]^4} = - 512\].
\[{S_5} = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^5}} \right]}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left[ {1 - {{\left[ { - 4} \right]}^5}} \right]}}{{\left[ {1 - \left[ { - 4} \right]} \right]}} = - 410\]
Chọn đáp án C.
Bài 4. Cho cấp số nhân $\left[ {{u_n}} \right]$ có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?
- số hạng thứ $103$
- số hạng thứ $104$
- số hạng thứ $105$
- Đáp án khác
Lời giải: Ta có:
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}{103}}}} = - 1.{\left[ { - \dfrac{1}{{10}}} \right]{n - 1}} \Leftrightarrow {\left[ { - \dfrac{1}{{10}}} \right]{n - 1}} = - \left[ {\dfrac{1}{{{{10}{103}}}}} \right] = {\left[ { - \dfrac{1}{{10}}} \right]^{103}} \] \[\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\]
Chọn đáp án B.
Bài 5. Cho cấp số nhân $\left[ {{u_n}} \right]$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.
- ${u_7} = 12.$
- ${u_7} = - 12.$
- ${u_7} = - 2$
- \[{u_7} = 18\]
Lời giải: Ta có:
\[u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left[ { - 6} \right]}^2}}}{3} = 12\]
Chọn đáp án A.
Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:
- \[{u_n} = {5^n}\]
- \[{u_n} = {\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]^{n + 1}}\]
- \[{u_n} = 5n + 1\]
- \[{u_n} = {4^n}\]
Lời giải: Ta có:
\[{u_n} = {5^n}\] nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi \[\forall n \ge 1\] .
Vậy dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] có \[{u_n} = {5^n}\] là cấp số nhân.
Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.
Ta có:
\[{u_n} = 2{[ - \sqrt 3 ]{n + 1}}\] nên ${u_{n + 1}} = 2{[ - \sqrt 3 ]{n + 2}} = [ - \sqrt 3 ]{u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = [ - \sqrt 3 ]$ không đổi \[\forall n \ge 1\] .
Vậy dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]có \[{u_n} = 2{[ - \sqrt 3 ]^{n + 1}}\] là cấp số nhân.
Ta có:
\[{u_n} = 5n + 1\] nên \[{u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\]
Vậy dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] không là cấp số nhân.
Chọn đáp án C.
Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] có công bội \[q > 0\] . Biết \[{u_2} = 4;{u_4} = 9\] .
- \[{u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\]
- \[{u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\]
- \[{u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\]
- \[{u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\]
Lời giải: Ta có \[{u_2} = 4 = {u_1}.q\] và \[{u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\]
\[\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \] \[\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left[ {q > 0} \right] \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\]
Chọn đáp án B.
Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:
- ${190^0}$
- ${191^0}$
- ${192^0}$
- ${193^0}$
Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \[A < B < C < D\].
Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:
\[\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\]