Cách giải các dạng toán tích phân đại học năm 2024
|
Tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học 12. Nắm chắc lý thuyết, phương pháp tính tích phân cơ bản sẽ giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập liên quan và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Vì thế, trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết tích phân là gì và những phương pháp tính tích phân cơ bản thường gặp. Show Định nghĩa tích phânĐể học tốt tích phân, trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết tích phân là gì. Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: \intop^b_a f(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a) Tính chất của tích phânĐể giải các bài toán tích phân, các em cần nắm được những tính chất cơ bản sau của tích phân: Phương pháp tính tích phânKhi giải các bài tập tích phân, các em có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó, 2 phương pháp cơ bản được áp dụng nhiều nhất là đổi biến số và tích phân từng phần. Phương pháp đổi biến sốCho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Công thức đổi biến số cụ thể: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du Sau đây là các dạng tích phân và cách đổi biến số thường gặp mà các anh chị Marathon đã tổng hợp được. Các em hãy tham khảo và áp dụng để giải bài tập: Phương pháp tích phân từng phầnCác em nên áp dụng phương pháp tích phân từng phần để giải nhanh chóng và chính xác những bài tập mà hàm số đã cho thuộc dạng:
Công thức tích phân từng phần : \intop^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx Các dạng bài tập tích phân cơ bảnDạng 1: Hàm logaritVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx\ &=\frac{1}{2}\intop^1_0(2e^x+1)^3d(2e^x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{(2e^x+1)^4}{4}\right|^1_0\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{(2e+1)^4}{4}-\frac{81}{4} \right]\ &=\frac{(2e+1)^4}{8}-\frac{81}{8} \end{aligned} Dạng 2: Hàm phân thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx\ &=\intop^4_3\left(1+\frac{3}{x-2}\right)dx\ &=[x+3ln(x-2)|^4_3\ &=(4+3ln2)-(3+ln1)\ &=1+3ln2 \end{aligned} Dạng 3: Hàm căn thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx\ &=\frac{1}{2}\intop^4_0\sqrt{2x+1}d(2x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}\right|^4_0\ &=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \end{aligned} Dạng 4: Hàm đa thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0(3x^2+2x-1)dx Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 0 Dạng 5: Hàm lượng giácVí dụ: Tính tích phân của hàm số: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 1 Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 2 Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Qua bài viết này, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu thêm định nghĩa tích phân. Bên cạnh đó, các em biết được những phương pháp tính tích phân cũng như những dạng bài tập cơ bản. Hy vọng, những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học và ôn tập cho các kỳ thi quan trọng. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! - Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) . - Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\). - Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\). - Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \). Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \). Giải: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_1^2 {t.2tdt} = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\). Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\). - Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\). - Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\). - Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\). - Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \) Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì:
Giải: Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$ Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) Suy ra $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t} $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $ Chọn C. Chú ý: Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là: 2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phầnDạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit. Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) - Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} $ Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$ Khi đó $I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$ Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ. Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \) Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ Khi đó $I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.$ Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức. Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} $ Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..$ Khi đó $I = - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} = - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.$ Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ. Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \). - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) Ví dụ: Tính $K = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $ Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0\pi {{e^x}\sin 2xdx} = {e^\pi } - 1 + 2M$ Tính $M = \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} $ Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$ Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0\pi {{e^x}\cos 2x} = - 2K$ Khi đó $K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}$ - Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần. - Ở bước 1, ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
\>> Xem thêm Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay \>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. |
