Cách Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp: Sử dụng tính chất

Với mọi x, y ∈ Q, ta có

  |x + y| ≤ |x| + |y|

  |x – y| ≥ |x| - |y|

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1

Lời giải:

A = |x + 1001| + 1

Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x

Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x

Do đó A ≥ 1 ∀ x

Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 - |5x + 3|

Lời giải:

B = 5 - |5x + 3|

Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x

⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x

⇒ 5 - |5x + 3| ≤ 5 ∀ x

Suy ra B ≤ 5 ∀ x

Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|

Lời giải:

C = |x – 1| + |x – 2019|

 = |x – 1| + |-[x – 2019]| [vì |a| = |-a|]

 = |x – 1| + |2019 – x|

Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]

Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018

Suy ra C ≥ 2018

Vậy GTNN của C là 2018

Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| - |x – 3000|

Lời giải:

D = |x + 5000| - |x – 3000| ≤ |x + 5000 – [x – 3000]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]

Vì | x + 5000 – [x – 3000]| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000

Suy ra D ≤ 8000

Vậy GTLN của D là 8000.

Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 - |1,4 – x|

A. - 2

B. -3,4

C. 2

D. -1

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

A = -2 - |1,4 – x|

Vì |1,4 – x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 – x| ≤ 0 ∀ x

⇒ - 2 -|1,4 – x| ≤ - 2 – 0 = -2 ∀ x

Do đó A ≤ - 2 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi 1,4 – x = 0 ⇒ x = 1,4

Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4.

Đáp án A

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là

A. 5

B. 0

C. 10

D. 15

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

Vì |x – 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x

Suy ra H ≥ 10 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5.

Đáp án C

Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức

là

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

Vì |x - 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x

[lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu]

Suy ra

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0, hay x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của N là

khi x = 2.

Đáp án B

Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| - 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

Vì |3x – 1| ≥ 0 ∀ x

⇒ 2|3x – 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x

⇒ 2|3x – 1| - 4 ≥ 0 – 4 = -4 ∀ x

Do đó K ≥ - 4 ∀ x

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x =

.

Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = .

Đáp án C

Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức

có giá trị lớn nhất.

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

Đáp án B

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x - 1| + 4

A. 0

B. 4

C. 5

D. 10

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn

Ta có: |x – 1| = |-[x – 1]| = | 1 – x| [vì |a| = |-a|]

Khi đó N = |x + 5| + |1 – x| + 4

Vì |x + 5| + |1 - x| ≥ |x + 5 + 1 - x| = |6| = 6

Do đó N = |x + 5| + |x - 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10

Đáp án D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 7 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

1. Cho biểu thức f[x,y..]. ta nói M là giá trị lớn nhất [GTLN] của biểu thức f[x, y, ..] kí hiệu max f = M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

Quảng cáo

[1] với mọi x, y, .. để f[x, y, ..] xác định thì f[x, y, ..] ≤ M [M là hằng số]

[2] Tồn tại x0, y0,.. sao cho f[x0, y0 , ..] = M

2. Cho biểu thức f[x,y..]. ta nói m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức f[x, y, ..] kí hiệu min f = m nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

[1]Với mọi x, y, .. để f[x, y, ..] xác định thì f[x, y, ..] ≥ m [m là hằng số]

[2]Tồn tại x0, y0,.. sao cho f[x0, y0, ..] = m

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Quảng cáo

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải: ĐKXĐ của phân thức x ≠ 1.

Ta có:

Vậy min A = 2 khi và chỉ khi x - 2 = 0 ⇔ x =2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

a, Tìm GTNN

Vậy min A = -1 khi và chỉ khi x - 2 = 0 ⇔ x = 2

b, Tìm GTLN

Vậy max A= 4 khi và chỉ khi 2x + 1= 0⇔ 2x = -1 ⇔ x = -1/2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Quảng cáo

-->

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

a, Tìm GTNN

Vì x2 + 9 ≥ 9 , [x – 6]2 ≥ 0 với mọi x

⇒ P ≥ - 1

Vậy min P = -1 ⇔ x – 6 = 0 ⇔ x = 6

Tim GTLN

b,Ta có:

Vậy max P =4 ⇔ 2x + 3 = 0 ⇔ x = -3/2

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

a, Tìm GTNN

Ta có:

Vậy min D = -1/2 ⇔ x = -2

Tim GTLN

Ta có

Vậy max D = 1 ⇔ x = 1

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Hiển thị đáp án

Hướng dẫn giải:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.