Cách tính hạng của ma trận
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH HẠNG CỦA MA TRẬNBạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (184.15 KB, 8 trang ) 4.3 nên r(A) = 2. Mối quan hệ giữa hạng và định thức Định nghĩa Cho ma trận A. Giữ lại một số hàng và một số cột của A, bỏ đi những hàng và cột còn lại, ta có một ma trận được gọi là một ma trận con của A. Nếu một ma trận con của A là ma trận vuông, thì định thức của nó được gọi là một định thức con của A. Định lý 4.3.1 A là ma trận có r(A) = r > 0 khi và chỉ khi A có một định thức con khác 0 cấp r nào đó, còn mọi định thức con cấp lớn hơn r của A (nếu có) đều bằng 0. Nói cách khác, r(A) bằng cấp cao nhất của định thức con khác không của A. Chứng minh Thật vậy, r(A) = r >0 khi và chỉ khi sau các phép toán hàng (i) hoặc (ii) A đưa được về ma trận bậc thang U có r trụ d1, d2, ..., dr. Ta giữ lại r hàng và r cột của A mà sau khi thực hiện các phép toán hàng sẽ chứa r trụ này. Theo tính chất của định thức, ma trận gồm r hàng và r cột này có định thức bằng ±d1d2 dr 0. Như vậy A có một định thức con khác 0 cấp r. Giả sử M là một ma trận con k×k của A với k > r. Khi A đưa được về U thì M đưa được về M' là một ma trận con của U. U có hàng r+1cho đến hàng cuối cùng chứa toàn 0, trong khi M' có số hàng vượt quá r , nên M' phải có một hàng toàn 0. Suy ra detM' = 0. Theo tính chất của định thức ta có detM = detM', nên detM = 0. Nhận xét 1) Nếu A là ma trận n×n thì r(A) = n khi và chỉ khi detA 0, bởi vì định thức con cấp n của A chính là detA. 2) Nếu ma trận A là ma trận con của ma trận B thì r(A) r(B). Thật vậy, nếu r(A) = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Còn nếu r(A) > 0 thì theo Định lý 1 A có định thức con detM khác không với cấp bằng r(A). A là ma trận con của ma trận B nên detM cũng là một định thức con của B. Vì vậy, theo Định lý 1 r(A) r(B). 3) r(A) = r(AT) bởi vì mọi định thức con detM của A cũng là định thức con detMT của AT. Thu gọn hệ thuần nhất Định nghĩa Một hàng (cột) của A được gọi là một hàng trụ (cột trụ, tương ứng), nếu sau các phép toán hàng để đưa A về ma trận bậc thang nó chứa một trụ. Trong Ví dụ 1 hàng 1 và hàng 2 là hai hàng trụ, cột 1 và cột 3 là hai cột trụ. Định lý 4.3.2 Nếu r(A) = r, thì Ax = 0 tương đương với Bx = 0, trong đó B gồm tất cả các hàng trụ của A . Ví dụ 2 Cho hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = 0 3x1 + 3x2 +10x3+13x4 =0. Do các hàng 1 và 2 sau những phép toán hàng chứa trụ là 1 và 4 nên theo Định lý 2 hệ này tương đương với hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = 0. Tiêu chuẩn có nghiệm của Ax =b Định lí 4.3.3 (Định lý Kronecker - Capelli) Nếu A là ma trận m×n và r(A) = r, thì điều kiện cần và đủ để Ax = b có nghiệm là: sau các phép toán hàng đưa được [A b] về ma trận bậc thang có m - r hàng cuối cùng toàn số 0. Nói cách khác, Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r([A b]). Leopold Kronecker (1823 - 1891) Ví dụ 3 Tìm điều kiện của b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm x1 + 2x2 + 3x3+ 5x4 = b1 2x1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 = b2 3x1 + 6x2 + 7x3 + 13x4 = b3. Giải 5 b1 1 2 3 1 2 3 5 b1 1 2 3 5 b1 . 2 4 8 12 b 0 0 2 2 b2 2b1 0 0 2 2 b2 2b1 2 3 6 7 13 b3 0 0 2 2 b3 3b1 0 0 0 0 b3 + b2 5b1 Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi b3 + b2 - 5b1 = 0. Hệ quả 4.3.4 Giả sử A là ma trận m×n. Nếu r(A) = m, thì Ax = b có nghiệm với mọi b thuộc Rm. Chứng minh A là ma trận con của [A b] nên m = r(A) r([A b]) số hàng của [A b] = m, nên r(A) = r([A b]) = m. Theo Định lý trên, Ax = b có nghiệm. 4.4 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = 0 Đối với hệ thuần nhất Ax = 0, trong quá trình đưa ma trận mở rộng [A 0] về ma trận bậc thang ta thấy rằng cột cuối luôn luôn là 0 nên ta chỉ cần làm việc với A. Ví dụ Giải hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 0 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 =0. Giải 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 A = 2 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 3 3 10 13 0 0 4 4 nên hệ ban đầu tương đương với hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 4x3 + 4x4 = 0. Biến trụ là x1 và x3, biến tự do là x2 và x4. Chuyển các số hạng chứa x2 và x4 sang vế phải x1 + 2x3 = -x2 - 3x4 4x3 = -4x4. Cho x2 và x4 giá trị thực bất kỳ rồi bằng phép thế ngược tìm giá trị của x1 và x3 x3 = -x4, x1 = -x2 - x4. Mọi nghiệm của hệ có dạng x2 x4 x 2 . x= x4 x4 Nhận xét Trong Ax = 0, số biến trụ = r(A), số biến tự do = (số cột của A) - r(A). Định nghĩa Khi giải Ax = 0, cho một biến tự do bằng 1, và cho các biến tự do còn lại bằng 0, ta được một nghiệm gọi một nghiệm đặc biệt. Trong ví dụ trên, cho x2 = 1, x4 = 0, thu được nghiệm đặc biệt 1 1 s1 = . 0 0 Cho x2 = 0, x4 = 1, thu được nghiệm đặc biệt 1 0 s2 = 1 1 Mỗi nghiệm của hệ có thể tách như sau x2 x4 x2 x4 x x 0 2 = 2 + x= x4 0 x4 x4 0 x4 1 1 1 0 = x2 + x4 = x2s1 + x4s2. 0 1 0 1 . Nghiệm bất kỳ của Ax = 0 là tổ hợp tuyến tính của s1 và s2: x = x2s1 + x4s2. Định nghĩa Nếu s1,..., sk là tất cả các nghiệm đặc biệt của Ax = 0, gọi c1s1++cksk, với c1, ..., ck là những số thực bất kỳ, là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = 0. Nghiệm tổng quát của hệ trong ví dụ trên là x = x2s1 + x4s2. Định lý 4.4.1 Cho Ax = 0 là hệ n ẩn * Nếu r(A) = n, thì hệ có nghiệm duy nhất (N(A) = {0}). * Nếu r(A) < n, thì hệ có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt s1,..., sn-r(A) và N(A) gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của s1,..., sn-r(A). (Trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do). Hệ quả 4.4.2 Nếu Ax = 0 có số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì nó có vô số nghiệm. Chứng minh Giả sử A là ma trận m×n. Theo giả thiết, m < n, nên min{m, n} = m. Mặt khác, r(A) min{m, n}, nên r(A) < n. Từ định lý trên suy ra Ax = 0 có vô số nghiệm. 4.5 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b Nghiệm riêng Định nghĩa Một nghiệm nào đó của Ax= b được gọi là một nghiệm riêng. Cách tìm một nghiệm riêng Dùng phép khử để đưa [A b] về dạng bậc thang [U c]. Trong hệ Ux = c, ta gán 0 cho những biến tự do rồi giải ra các biến trụ, sẽ tìm được một nghiệm riêng. Ví dụ 1 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 6 3x1 + 3x2 + 10x3 +13x4 =7. Giải Thực hiện phép khử trên ma trận 1 1 2 3 1 [A b]= 2 2 8 10 6 . 3 3 10 13 7 được 1 1 2 3 1 [U c]= 0 0 4 4 4 . 0 0 0 0 0 Gán 0 cho x2 và x4, ta nhận được x1 = -1 và x3 = 1. Vậy một nghiệm riêng là xp = (-1, 0, 1, 0). Nghiệm đầy đủ Định lý 4.5.1 Giả sử Ax = b có nghiệm riêng là xp. Khi ấy, tập nghiệm của Ax = b là {x = xp + xn | xn N(A)}. Chứng minh Với x = xp + xn, do Ax = Axp + Axn = b + 0 = b, nên x = xp + xn là nghiệm của Ax = b. Ngược lại, nếu x là một nghiệm của Ax = b, ta đặt xn = x - xp. Do Axn = Ax - Axp = b - b = 0, nên xn N(A). Định lý này là cơ sở cho định nghĩa sau đây. Định nghĩa Nếu xp là nghiệm riêng của Ax = b, xn là nghiệm đầy đủ của Ax = 0, ta gọi x = xp + xn là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = b. Ví dụ 2 Hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 6 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = 7 có nghiệm đầy đủ là x = xp + xn = xp + x2s1 + x4s2 1 1 1 1 x2 x4 0 1 0 x2 . = = +x2 +x4 1 0 1 1 x4 x4 0 0 1 Hệ quả 4.5.2 Giả sử A là ma trận m×n và Ax = b có nghiệm xp nào đó. * Nếu r(A) = n, thì xp là nghiệm duy nhất của Ax = b. * Nếu r(A) < n, thì Ax = b có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do. Chứng minh Xét hệ Ax = 0. Do Định lý 4.4.1: * Nếu r(A) = n, thì Ax = 0 có nghiệm đầy đủ là xn = 0. * Nếu r(A) < n, thì Ax = 0 có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt s1,..., sn-r(A) nên nghiệm đầy đủ là xn = c1s1+ + cn-r(A)sn-r(A). Ký hiệu xp là một nghiệm của Ax = b. Từ Định lý 1 suy ra nghiệm đầy đủ của Ax = b trong hai trường hợp tương ứng là * x = xp + 0 = xp. Tức là Ax = b có nghiệm duy nhất. * x = xp + c1s1+ + cn-r(A)sn-r(A). Tức là Ax = b có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do. NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 5 1. Hạng của ma trận và cách tìm. 2. Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý Kronecker - Capelli). 3. Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0. Biện luận hệ Ax = 0. 4. Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = b. Biện luận hệ Ax = b. NỘI DUNG ÔN TẬP TÍN CHỈ 1 I. Giải hệ phương trình tuyến tính * Phương pháp khử Gauss. * Qui tắc Cramer. * Tiêu chuẩn có nghiệm (Định lý Kronecker - Capelli). * Biện luận hệ phương trình tuyến tính: Khi nào vô nghiệm. Khi nào có nghiệm duy nhất. Khi nào có vô số nghiệm. * Cấu trúc nghiệm của hệ tuyến tính Ax = 0 và Ax = b. II. Ma trận * Các phép toán ma trận và tính chất. * Ma trận nghịch đảo và cách tìm. Tiêu chuẩn để một ma trận khả nghịch. * Ma trận khử, ma trận hoán vị. Phân tích ma trận: A = LU. III. Định thức * Các tính chất của định thức. * Cách tính gián tiếp định thức dựa vào các tính chất của định thức. * Cách tính trực tiếp định thức theo Công thức Phần phụ đại số hoặc Công thức Quan trọng. * Áp dụng của định thức trong việc tính ma trận nghịch đảo và trong giải hệ tuyến tính. IV. Không gian vectơ * Định nghĩa không gian vectơ và định nghĩa không gian con. * Bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận. * Hạng của ma trận và cách tính. |
