Phương pháp giải:
Chia trường hợp, xét từ vị trí \[{a_1}\] để tìm các số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết:
Giả sử số có 6 chữ số thỏa đề bài có dạng \[M = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \].
Nhận xét : Trong các vị trí \[{a_1},\,{a_2},\,{a_3},\,{a_4},\,{a_5},\,{a_6}\] có tối đa 3 chữ số là số chẵn được lấy từ tập A.
TH1: Số M chỉ chứa 1 chữ số chẵn.
+] \[{a_1}\] chẵn : \[{a_1}\] có 4 cách chọn
Các vị trí \[{a_2},\,{a_3},\,{a_4},\,{a_5},\,{a_6}\] là số lẻ nên có 5! cách xếp
Trường hợp này có : \[4.5! = 480\] cách chọn.
+] \[{a_1}\] lẻ : \[{a_1}\]ó 5 cách chọn
Chọn một chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ và xếp chúng ở 5 vị trí \[{a_2},\;\,{a_3},\,\;{a_4},\,\;{a_5},\,\;{a_6}\] có \[C_5^1C_4^45!\] cách
Trường hợp này có : \[5C_5^1C_4^45! = 3000\] cách chọn.
TH2: Số M có chứa 2 chữ số chẵn .
+] \[{a_1}\]chẵn : \[{a_1}\] có 4 cách chọn
Vị trí \[a_2^{}\] là số lẻ nên \[{a_2}\] có 5 cách chọn .
Chọn một chữ số chẵn và 3 số lẻ và xếp chúng vào 4 vị trí còn lại có \[C_4^1C_4^34!\] cách
Trường hợp này có : \[4.5.C_4^1C_4^34! = 7680\]cách chọn.
+] \[a_1^{}\]lẻ : \[a_1^{}\] có 5 cách chọn
Ở các vị trí \[{a_2},\,{a_3},\,{a_4},\,{a_5},\,{a_6}\] có 3 chữ số lẻ , ta tạo được 4 vách ngăn , chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 4 vách ngăn đó.
Chọn 3 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 3 vị trí còn lại, vậy có \[C_5^2C_4^2C_4^32!3!\] cách.
Trường hợp này này có \[5C_5^2C_4^2C_4^32!3! = 14400\] cách chọn.
TH3: Số M có chứa 3 chữ số chẵn.
+] \[{a_1}\] chẵn : \[{a_1}\] có 4 cách chọn.
Vị trí \[{a_2}\] lẻ nên \[{a_2}\] có 5 cách chọn.
Ở các vị trí \[\,{a_3},\,{a_4},\,{a_5},\,{a_6}\] có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn .Chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \[C_4^22!C_4^2C_3^22!\] cách.
Trường hợp này có: \[4.5C_4^22!C_4^2C_3^22! = 8640\] cách chọn.
+] \[{a_1}\] lẻ : \[{a_1}\] có 5 cách chọn
Ở các vị trí \[{a_2},\,{a_3},\,{a_4},\,{a_5},\,{a_6}\] có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn.
Chọn ba chữ số chẵn và đặt vào 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \[C_5^33!C_4^22!\] cách.
Trường hợp này có \[5C_4^23!C_5^32! = 3600\] cách chọn.
Vậy có : \[480 + 3000 + 7680 + 14400 + 8640 + 3600 = 37800\] cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C