Lý thuyết cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K
a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.
3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.
Chú ý:
1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lí 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Tìm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị cực hay, có lời giải
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
- Bước 1: Lập bảng biến của hàm số y = f[x] dựa vào đồ thị hàm y = f'[x]
Nếu đồ thị hàm số y = f'[x] nằm bên dưới trục hoành thì f'[x] mang dấu âm
Nếu đồ thị hàm số y = f'[x] nằm bên trên trục hoành thì f'[x] mang dấu dương
- Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực trị của hàm số
Hàm số y = f[x] có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại x = x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0
Hàm số y = f[x] có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại x = x0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0
Chú ý: Nếu hàm số y = f'[x] cắt trục hoành tại x0 thì f'[x] đổi dấu khi qua x0
Nếu hàm số y = f'[x] tiếp xúc với trục hoành tại x0 thì f'[x] không đổi dấu khi qua x0
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x] xác định và có đạo hàm f'[x]. Biết rằng hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f'[x]. Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số y = f[x].
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị của hàm số y = f'[x], ta suy ra BBT:
Vậy hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại x = -2.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] xác định và có đạo hàm f'[x]. Đồ thị của hàm số g = f'[x] có đồ thị
Điểm cực đại của hàm số là
A. x = 4.
B. x = 3.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị của hàm số g = f'[x], ta suy ra BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f[x] có có đồ thị của hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên.
Hàm số y = f[x] có bao nhiêu điểm cực trị
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Lời giải
Chọn D
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số có 4 điểm cực trị.
Bài 1: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R. Hàm số y = f'[x] có đồ thị như hình vẽ bên
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. f[0].
B. f[1].
C. f[2].
D. f[-1].
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 1.
Do đó giá trị cực đại của hàm số đã cho là f[-1].
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ:
Đồ thị hàm số y = f[x] có mấy điểm cực trị?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Lời giải:
Chọn B
Ta thấy f'[x] chỉ đổi dấu khi đi qua x = -1 nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị
Bài 3: Cho hàm số y = f[x] xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'[x] là đường cong trong hình dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 0 .
B. Hàm số y = f[x] có 4 cực trị.
C. Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại x = -1.
D. Hàm số y = f[x] đạt cực đại tại x = -1.
Lời giải
Chọn C
Giá trị của hàm số y = f'[x] đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = -1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
Bài 4: Hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] trên khoảng K như hình vẽ bên dưới.
Hỏi hàm số f[x] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số f'[x] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất [không tính tiếp xúc] có nghĩa là đạo hàm chỉ đổi dấu một lần nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Bài 5: Hàm số y = f[x] liên tục trên khoảng R, biết đồ thị của hàm số y = f'[x] trên Knhư hình vẽ bên.
Tìm số cực trị của hàm số y = f[x] trên R.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Chọn B
Ta thấy đồ thị hàm số f'[x] cắt trục hoành tại 2 điểm nên đạo hàm đổi dấu tại đây và tiếp xúc với trục hoành tại x = 0 nên đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số y = f[x] có 2 điểm cực trị.
Bài 6: Cho hàm số y = f[x]. Hàm số y = f'[x] có đồ thị như hình vẽ
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y = f[x] đạt cực đại tại x = 1 .
B. Hàm số y = f[x] có một điểm cực tiểu.
C. Đồ thị hàm số y = f[x] có hai điểm cực trị.
D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải.
Chọn B
Dựa vào đồ thị của y = f'[x] ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Bài 7: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f'[x] trên R như hình bên dưới. Khi đó trên R hàm số y = f[x]
A. Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
B. Có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
C. Có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Lời giải.
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số f'[x] ta có bảng xét dấu:
Ta thấy f'[x] đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x1 và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x2. Vậy hàm số y = f[x] có 1 cực đại và một cực tiểu.
Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và đồ thị hàm f'[x] như hình vẽ
Hàm số y = f[x] đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy f'[x] > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số y = f[x] đồng biến trên R
Vậy hàm số y = f[x] không có cực trị
Bài 9: Cho hàm số y = f[x] có có đồ thị của hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên. Hàm số y = f[x2]có bao nhiêu điểm cực tiểu
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên:
Hàm số có ba điểm cực tiểu.
Bài 10: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị đạo hàm y = f'[x] như hình bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y = f[x] - x2 - x đạt cực đại tại x = 0.
B. Hàm số y = f[x] - x2 - x đạt cực tiểu tại x = 0.
C. Hàm số y = f[x] - x2 - x không đạt cực trị tại x = 0.
D. Hàm số y = f[x] - x2 - x không có cực trị.
Lời giải
Chọn A
Ta có: y' = f'[x] - [2x + 1]Þy' = 0 ⇔ f'[x] = 2x + 1.
Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghiệm đơn của phương trình y' = 0.
Ta có bảng biến thiên trên [-∞;2]:
Từ bảng biến thiên Þ hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
a. Hàm số y = |f[x]|
Để tìm cực trị của hàm số y = |f[x]| ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = |f[x]| từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f[x] .
Chú ý: - Đồ thị hàm số y = |f[x]| gồm 2 phần:
+ Phần đồ thị y = f[x] nằm trên Ox
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f[x] nằm dưới Ox
- Số điểm cực trị của hàm số y = |f[x]| bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f[x] và số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0
b. Hàm số y = f[|x|]
Để tìm cực trị của hàm số y = f[|x|] ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = f[|x|] từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f[x] .
Chú ý: - Đồ thị hàm số y = f[|x|] gồm 2 phần:
+ Phần đồ thị y = f[x] nằm bên phải trục Oy [C1]
+ Phần lấy đối xứng [C1] qua Oy
- Số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] và cộng thêm 1.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] như hình vẽ bên. Hàm số y = f[|x|] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Đồ thị[C'] của hàm số y = f[|x|] được vẽ như sau.
+ Giữ nguyên phần đồ thị của[C] nằm bên phải trục tung ta được [C1]
+ Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị của [C1] ta được[C2]
+ Khi đó [C'] = [C1]∪[C2] có đồ thị như hình vẽ dưới
Từ đồ thị [C'] ta thấy hàm số y = f[|x|] có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số y = |f[x]| có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 7.
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm y = |f[x]| gồm 2 phần.
+ Phần đồ thị y = f[x] nằm trên Ox
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f[x] nằm dưới Ox
Đồ thị hàm số y = f[x] giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4
Từ đó ta có bảng biến thiên của y = |f[x]|
Từ bảng biến thiên này hàm số y = |f[x]| có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = |[x - 1][x - 2]2|. Số điểm cực trị của hàm số là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Mặt khác phương trình f[x] = [x - 1][x - 2]2 = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1
Ta có số điểm cực trị của hàm số y = |[x - 1][x - 2]2| là tổng số điểm cực trị của hàm số f[x] = [x - 1][x - 2]2 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0.
Vậy số điểm cực trị của hàm số y = |[x - 1][x - 2]2| là 3
Bài 1: Cho hàm số
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn B
Số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] là n thì số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là 2n + 1
Ta có f'[x] = x3 + x2 - 2x = x[x - 1][x + 2]
Hàm số y = f[x] có một điểm cực trị dương nên hàm số y = f[|x|] có 3 điểm cực trị.
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x[x + 2]4 [x2+8]. Số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
Do f'[x]chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 nên hàm số f[x] có 1 điểm cực trị x = 0.
Số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] là n thì số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là 2n + 1
Do đó hàm y = f[|x|] có duy nhất 1 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau.
Hàm số y = f[|x-3|] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5
B. 6
C. 3
D. 1
Lời giải
Chọn C
Đồ thị hàm số y = f[|x - 3|] được suy ra từ đồ thị hàm số y = f[x] bằng cách ta suy ra đồ thị hàm y = f[|x|] rồi tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x|] sang phải 3 đơn vị.
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f[|x|] như sau.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f[|x|] có ba điểm cực trị nên khi tịnh tiến đồ thị y = f[|x|] sang phải 3 đơn vị ta được hàm số y = f[|x - 3|] cũng có ba điểm cực trị.
Bài 4: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau.
Hàm số y = f[|x|] có các điểm cực tiểu là:
A. x = 3.
B. x = 0.
C. x = ±4.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Suy ra hàm số y = f[|x|] đạt cực tiểu tại x = ±4
Bài 5: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x3 - 2x2][x3 - 2x]. Hàm số y = |f[x]| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9.
B. 8.
C. 7.
D. 6.
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f[x] có 4 điểm cực trị, suy ra f[x] = 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt.
Do đó hàm số y = |f[x]| có tối đa 4 + 5 = 9 điểm cực trị.
Bài 6: Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên R, có bảng xét dấu của f'[x] như sau
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] + 2020 là:
A. 5.
B. 4.
C. 0.
D. 3.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số y = f[|x|] như sau
Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x|] có 5 điểm cực trị.
Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] có 5 cực trị [Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x|] sang phải 2 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi].
Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] + 2020 có 5 cực trị [Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] lên trên 2020 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi].
Bài 7: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Ta có hàm số y = f[x] có 2 điểm cực trị nên hàm số y = f[x] + 2m - 1 có 2 điểm cực trị.
Hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị ⇒ f[x] + 2m - 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình f[x] + 2m - 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = -2m + 1 cắt đồ thị hàm số y = f[x] tại 3 điểm phân biệt
Vậy hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị thì
Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x3 - 2x2][x3 - 2x], với mọi x ∈ R. Hàm số y = |f[1 - 2018x]| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị.
A. 9.
B. 2022.
C. 11.
D. 2018.
Lời giải
Chọn A
Ta có f'[x] = x3[x - 2][x2 - 2]. Cho
Bảng biến thiên
Suy ra hàm số y = f[x] có 4 điểm cực trị.
Và phương trình f[x] = 0 có tối đa 5 nghiệm.
Do đó hàm số y = |f[x]| có tối đa 9 điểm cực trị.
Mà hàm số y = |f[x]| và hàm số y = |f[1 - 2018x]| có cùng số điểm cực trị.
Suy ra hàm số y = |f[1 - 2018x]| có tối đa 9 điểm cực trị.
Bài 9: Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên R, có f'[x] = x2 - 1. Hàm số f[|x2 - 2|] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 2.
B. 5.
C. 7.
B. 4.
Lời giải
Chọn D
Bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên thì g[x] có hai điểm cực tiểu x ≥ 0. Do đó hàm f[|x2-2|] sẽ có 4 cực tiểu.
Bài 10: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
A. 2016.
B. 1952.
C. -2016.
D. -496.
Lời giải
Chọn A
Để thỏa yêu cầu thì đồ thị [C]: y = f[x] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
Tổng các giá trị nguyên m là:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi