adsense
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?
A. 23100
B. 11430
C. 11760
D. 11340
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng \[
\overline {abcdefg} \]
Xét trường hợp có cả chữ số 0 đứng đầu.
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là \[
C_7^2\]
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là \[
C_5^3\]
Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp \[
\left\{ {0;1;4;5;6;7;8;9} \right\}\] để xếp vào hai vị trí cuối là \[
A_8^2\]
Do đó có \[
C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760\] số.
Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu.
adsense
a=0 nên có 1 cách chọn.
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là \[
C_6^2\]
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là \[C_4^3\]
Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp \[
\left\{ {1;4;5;6;7;8;9} \right\}\] là 7 cách.
Do đó có \[
1.C_6^2.C_4^3.7 = 420\] số.
Vậy có \[11760−420=11340\] số.
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:
n [A ∪B] =n[A] + n[B]
- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
- Ví dụ. Một lớp học có 21 bạn nữ và 19 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một bạn để làm lớp trưởng. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
+ Trường hợp 1. Giáo viên chọn 1 bạn nam: có 19 cách.
+ Trường hợp 2. Giáo viên chọn 1 bạn nữ: có 21 cách
Theo quy tắc cộng, giáo viên sẽ có: 19 + 21 = 40 cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng.
- Ví dụ. Bạn Lan có 10 quyển sách khác nhau; 12 chiếc bút khác nhau và 5 cục tẩy khác nhau. Bạn Lan cần chọn một món đồ để đem tặng Hoa. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
Bạn Lan có thể chọn:
+ Một quyển sách: có 10 cách chọn
+ Một chiếc bút: có 12 cách chọn.
+ Một cục tẩy: có 5 cách chọn.
Theo quy tắc cộng, bạn Lan có: 10 + 12 + 5 = 27 cách chọn.
2. Quy tắc nhân
- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.
- Ví dụ. Cho tập A = {1; 3; 4; 5; 6}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A?
Lời giải:
Để tạo ra một số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:
- Hành động 1: Chọn chữ số hàng chục có 5 cách.
- Hành động 2. Chọn chữ số hàng đơn vị. Ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục, ta có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị [vì chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị].
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn đầu bài là: 5.4 = 20 số.
- Ví dụ. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 10 món, 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng và 1 nước uống giải khát trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
Lời giải:
Để chọn một thực đơn, ta cần thực hiện liên tiếp ba hành động:
- Chọn 1 món ăn trong 10 món có 10 cách.
- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng có 6 cách.
- Chọn 1 nước uống trong 4 loại nước uống có 4 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn thực đơn là 10.6.4 = 240 cách.
3. Hoán vị
3.1 Định nghĩa
- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.
3.2 Số các hoán vị
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lí: Pn = n.[n – 1].[n – 2]….2.1
- Chú ý: Kí hiệu n.[n – 1]…2.1 là n! [đọc là n là giai thừa], ta có: Pn = n!.
- Ví dụ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.
Lời giải:
Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.
4. Chỉnh hợp
4.1 Định nghĩa.
- Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1].
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Ví dụ. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.
4.2 Số các chỉnh hợp
- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1 ≤ k ≤ n] .
- Định lí: Ank = n[n−1]...[n−k+ 1]
- Ví dụ. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.
Lời giải:
Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:
Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài.
- Chú ý:
a] Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n![n−k]!; 1 ≤ k ≤n.
b] Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy:Pn = Ann .
5. Tổ hợp
5.1 Định nghĩa.
- Giả sử tập A có n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.
Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.
5.2 Số các tổ hợp.
Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử [ 0 ≤ k ≤ n].
- Định lí: Cnk = n!k![n−k]!.
Ví dụ. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.
Lời giải:
Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 [điểm].
Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56.
5.3 Tính chất của các số Cnk
a] Tính chất 1.
Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n.
Ví dụ 6. C83=C85=56.
b] Tính chất 2 [công thức Pa-xcan].
Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k