- Đại số
- Hình học
Đại số
Dạng 1: Thống kê
Bài 1: Điểm kiểm tra môn toán học kỳ 2 của học sinh lớp 7A được thống kê như sau.
|
10 |
9 |
10 |
9 |
9 |
9 |
8 |
9 |
9 |
10 |
|
9 |
10 |
10 |
7 |
8 |
10 |
8 |
9 |
8 |
9 |
|
9 |
8 |
10 |
8 |
8 |
9 |
7 |
9 |
10 |
9 |
a] Dấu hiệu ở đây là gì ? có bao nhiêu giá trị của dấu hiệu?
b] Lập bảng tần số.
c] Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
Bài 2: Điểm kiểm tra môn toán học kì II của 40 học sinh lớp 7A được ghi lại trong bảng sau:
|
3 |
6 |
8 |
4 |
8 |
10 |
6 |
7 |
6 |
9 |
|
6 |
8 |
9 |
6 |
10 |
9 |
9 |
8 |
4 |
8 |
|
8 |
7 |
9 |
7 |
8 |
6 |
6 |
7 |
5 |
10 |
|
8 |
8 |
7 |
6 |
9 |
7 |
10 |
5 |
8 |
9 |
a] Lập bảng tần số .
b] Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu .
Bài 3:
Thời gian làm một bài toán [tính bằng phút] của 30 học sinh được ghi lại như sau :
|
10 5 8 8 9 7 8 9 14 8 5 7 8 10 9 8 10 7 14 8 9 8 9 9 9 9 10 5 5 14 |
a] Lập bảng tần số. Nhận xét
b] Tính điểm trung bình cộng. Tìm mốt của dấu hiệu
Bài 4:
Điểm kiểm tra học kỳ I môn Toán của học sinh lớp 7A thầy giáo đã ghi lại như sau:
5 6 6 7 5 4 7 8 8 9
4 9 10 8 7 6 9 8 6 10
9 6 5 7 9 8 6 6 7 9
a/ Tính số trung bình cộng về điểm kiểm tra học kỳ I của lớp 7A ?
b/ Vẽ biểu đồ đoạn thẳng ?
Bài 5:
Số lượng khách đến tham quan một cuộc triển lãm tranh trong 10 ngày được ghi trong bảng sau:
|
Số thứ tự ngày |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Số lượng khách |
300 |
350 |
300 |
280 |
250 |
350 |
300 |
400 |
300 |
250 |
a/ Dấu hiệu ở đây là gì ?
b/ Lập bảng tần số ?
c/ Tính lượng khách trung bình đến trong 10 ngày đó ?
Bài 6:
Số cân nặng của 30 bạn [tính tròn đến kg] trong một lớp được ghi lại như sau:
|
32 36 30 32 32 36 28 30 31 28 30 28 32 36 45 30 31 30 36 32 32 30 32 31 45 30 31 31 32 31 |
a. Dấu hiệu ở đây là gì?
b. Lập bảng tần số.
c. Tính số trung bình cộng.
Dạng 2: Biểu thức đại số:
Bài 1: Cho hai đa thức :
\[A[x] = 2{x^3} + 2x - 3{x^2} + 1\]
\[B[x] = 2{x^2} + 3{x^3} - x - 5\]
a] Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. \[\]
b] Tính A[x] + B[x]
c] Tính A[x] B[x]
Bài 2: Cho đơn thức: A = \[[ - \,\frac{2}{{17}}{x^3}{y^5}].\frac{{34}}{5}{x^2}y\]
a] Thu gọn A, tìm bậc của đơn thức A thu được.
b] Tính giá trị của đơn thức thu được tại x = -1; y = -1.
Bài 3: Cho hai đa thức:
P[x] = 2x3 2x + x2 x3 + 3x + 2
Q[x] = 3x3 -4x2 + 3x 4x 4x3 + 5x2 + 1.
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến .
b. Tính M[x] = P[x] + Q[x]; N[x] = P[x] - Q[x]
c. Chứng tỏ đa thức M[x] không có nghiệm.
Bài 4:
Cho đơn thức \[P = \frac{2}{3}x{y^2}.6x{y^2}\]
a] Thu gọn đơn thức P rồi xác định hệ số, phần biến cà bậc của đơn thức.
b] Tính giá trị của P tại x = 3 và y = \[\frac{1}{2}\]
Bài 5:
Cho hai đa thức : A[x] = 9 x5 + 4x 2x3 + x2 7x4
B[x] = x5 9 + 2x2 + 7 x4 + 2x3 3x
a. Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến
b. Tính A[x] + B[x] và A[x] B[x]
Bài 6: Cho đa thức M = 3x5y3 - 4x4y3 + 2x4y3 + 7xy2 - 3x5y3
a/ Thu gọn đa thức M và tìm bậc của đa thức vừa tìm được?
b/ Tính giá trị của đa thức M tại x = 1 và y = - 1 ?
Bài 7: Cho hai đa thức:
P[x] = 8x5 + 7x - 6x2 - 3x5 + 2x2 + 15
Q[x] = 4x5 + 3x - 2x2 + x5 - 2x2 + 8
a/ Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến ?
b/ Tìm nghiệm của đa thức P[x] Q[x] ?
Bài 8:
Cho hai đa thức:
P[\[x\]] = \[{x^5} - 2{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} - \frac{1}{4}x\] ; Q[\[x\]] = \[5{x^4} - {x^5} + 4{x^2} - 2{x^3} - \frac{1}{4}\]
a. Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b. Tính P[\[x\]] + Q[\[x\]] và P[\[x\]] Q[\[x\]].
Bài 9:
Tìm hệ số a của đa thức M[\[x\]] = a\[{x^2}\] + 5\[x\] 3, biết rằng đa thức này có một nghiệm là \[\frac{1}{2}\].
Bài 10:
Cho đa thức:
M = 6 x6y + \[\frac{1}{3}\]x4y3 y7 4x4y3 + 10 5x6y + 2y7 2,5.
a] Thu gọn và tìm bậc của đa thức.
b] Tính giá trị của đa thức tại x = -1 và y = 1.
Bài 11:
Cho hai đa thức:\[P\left[ x \right] = 5{x^3} - 3x + 7 - x\]
và \[Q\left[ x \right] = - 5{x^3} + 2x - 3 + 2x - {x^2} - 2\]
a] Thu gọn hai đa thức P[x] và Q[x]
b] Tìm đa thức M[x] = P[x] + Q[x].
c] Tìm nghiệm của đa thức M[x].
Bài 12: Cho đa thức P[x] = x6 + 3 x 2x2 x5
a. Sắp xếp các hạng tử của P[x] theo luỹ thừa giảm dần của biến x ?
b. Tính P[1] ?
c. Có nhận xét gì về giá trị x = 1 đối với đa thức P[x]?
Bài 13 Cho các đa thức :
P[x]=\[{x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} - \frac{1}{4}x\]
Q[x] = \[5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2} - \frac{1}{4}\]
a/ Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b/ Tính P[x] + Q[x].
Dạng 3: Một số câu hỏi nâng cao
Bài 1: Cho hàm số \[f[x] = \frac{{x + 5}}{{x - 2}}\]. Tìm \[x\] để \[f[x] > 1\].
Bài 2: Cho đa thức \[f[x] = a{x^2} + bx + c\] với a, b, c là các số hữu tỉ không âm. Biết \[a + 2b = 2020\]. Chứng minh rằng \[f[1] \le 2019\frac{1}{2}\].
Bài 3: Cho a, b là các số tự nhiên khác 0. Biết \[1 > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{7}{{10}}\]. Tìm GTLN của biểu thức \[A = \frac{{2020}}{{a + b}}\].
Bài 4: Tìm GTLN của biểu thức \[P = \frac{{17 - x}}{{7 - x}}\] \[\left[ {x \in \mathbb{Z},\,\,x \ne 7} \right]\].
Bài 5: Tìm x, y thỏa mãn: \[{x^2} + 2{x^2}{y^2} + 2{y^2} - [{x^2}{y^2} + 2{x^2}] - 2 = 0\]
Bài 6:
a] Tìm hệ số a của đa thức P[\[x\]] = ax3 + 4\[x\]2 1, biết rằng đa thức này có một nghiệm là 2.
b] Cho f[x] = x8 101x7 + 101x6 101x5 +..+ 101x2 101x + 25. Tính f[100]?
Bài 7:Tìm hệ số a của đa thức M[\[x\]] = a\[{x^2}\] + 5\[x\] 3, biết rằng đa thức này có một nghiệm là \[\frac{1}{2}\]
Hình học
Bài 1 Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a/ Chứng minh: DEI = DFI
b/ Các góc DIE và góc DIF là những góc gì ?
c/ Biết DI = 12cm, EF = 10cm . Hãy tính độ dài cạnh DE.
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông ở A, có \[\hat C\] = 300 , AH\[ \bot \]BC [H\[ \in \]BC]. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE \[ \bot \]AD. Chứng minh :
a] Tam giác ABD là tam giác đều .
b] AH = CE.
c] EH // AC .
Bài 3 Cho DABC biết AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD =AC
a. Chứng minh tam giác ABC vuông
b. Chứng minh DBCD cân
c. Gọi E là trung điểm của BD, CE cắt AB tại O. Tính OA, OC
Bài 4:
Cho \[\Delta \]ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB = 5cm, BC = 6cm.
a] Chứng minh BH = HC.
b] Tính độ dài BH, AH.
c] Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
d] Chứng minh\[\widehat {ABG} = \widehat {ACG}\]
Bài 5.
Cho DABC có góc C = 900; BC = 3cm; CA = 4cm. Tia phân giác BK của góc ABC [K Î CA]; từ K kẻ KE ^ AB tại E.
a] Tính AB.
b] Chứng minh BC = BE.
c] Tia BC cắt tia EK tại M. So sánh KM và KE.
d] Chứng minh CE // MA
Bài 6:
Cho \[\Delta \,ABC\] vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC [H \[ \in \] BC]. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a] \[\Delta \,ABE\] = \[\Delta \,HBE\].
b] BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c] EK = EC.
d] AE < EC.
Bài 7
Cho \[\Delta \,ABC\] cân tại A có AB = 5cm, BC = 6cm. Từ A kẻ đường vuông góc AH đến BC.
a. Chứng minh: BH = HC.
b. Tính độ dài đoạn AH.
c. Gọi G là trọng tâm \[\Delta \]ABC. Trên tia AG lấy điểm D sao cho AG = GD. Tia CG cắt AB tại F. Chứng minh: \[BD = \frac{2}{3}CF\] .
d. Chứng minh: DB + DG > AB.
Bài 8:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho BK = BC. Vẽ KH vuông góc với BC tại H và cắt AC tại E.
a/ Vẽ hình và ghi GT KL ?
b/ KH = AC
c/ BE là tia phân giác của góc ABC ?
d/ AE < EC ?
Bài 9:
Cho \[\Delta \]ABC cân tại A, hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. Chứng minh :
a] \[\Delta \]BNC = \[\Delta \]CMB
b] \[\Delta \]BKC cân tại K.
c] MN // BC.
Bài 10: Cho \[\Delta \]ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM
a. Chứng minh \[\Delta \]BMC = \[\Delta \]DMA. Suy ra AD // BC.
b. Chứng minh \[\Delta \]ACD là tam giác cân.
c. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE.
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, BC = 12cm.
a] Chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACH.
b] Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c] Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng.