Đề bài
Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cắt nhau tại \[M\]. Trên \[a\] có hai điểm \[A\] và \[B\], trên \[b\] có hai điểm \[C\] và \[D\] đều khác \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\]. Chứng minh rằng bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải chi tiết
Gọi \[[O]\] là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Gọi \[D'\] là giao điểm của \[b\] với \[[O]\] [ \[{D'} \ne C\]].
Theo giả thiết ta có \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D}}\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} [\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ] = 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \]
\[\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D} = 0\] [Do \[M, C, D, D'\] cùng thuộc đường thẳng b nên \[\overrightarrow {MC} \] và \[\overrightarrow {{D'}D}\] không thể vuông góc với nhau]
\[\Rightarrow D \equiv {D'}\].
Vậy bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên một đường tròn.