Đề bài
Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \[\displaystyle \int\limits_0^1 {\ln \left[ {1 + x} \right]dx} > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \]
B. \[\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \]
C. \[\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} > \int\limits_0^1 {{{\left[ {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right]}^2}dx} \]
D. \[\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} > \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu \[\displaystyle f\left[ x \right] \ge 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\] thì \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} > 0\].
Lời giải chi tiết
Đáp án A:
Xét \[\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\ln \left[ {1 + x} \right]dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left[ {\ln \left[ {1 + x} \right] - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right]dx} \]
Dễ thấy trong \[\displaystyle \left[ {0;1} \right]\] thì:
\[\displaystyle \ln \left[ {x + 1} \right] \ge 0 \ge \frac{{x - 1}}{{e - 1}}\]\[\displaystyle \Rightarrow \ln \left[ {x + 1} \right] - \frac{{x - 1}}{{e - 1}} \ge 0\]\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {\ln \left[ {1 + x} \right] - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right]dx} > 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left[ {1 + x} \right]dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} > 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left[ {1 + x} \right]dx} > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \] hay A đúng.
Đáp án B: Xét \[\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \]\[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {{{\sin }^2}x - \sin 2x} \right]dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left[ {\sin x - 2\cos x} \right]dx} \]
Trong đoạn \[\displaystyle \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\] thì \[\displaystyle 0 \le \sin x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \cos x \le 1\] \[\displaystyle \Rightarrow \sin x - 2\cos x < 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow \sin x\left[ {\sin x - 2\cos x} \right] \le 0\] \[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left[ {\sin x - 2\cos x} \right]dx} < 0\]\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \] hay B đúng.
Đáp án D: Xét \[\displaystyle \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} - \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \]\[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left[ {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right]dx} \]
Trong đoạn \[\displaystyle \left[ {0;1} \right]\] thì \[\displaystyle {x^2} \ge {x^3} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3}\] \[\displaystyle \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} \le {e^{ - {x^3}}} \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}} \le 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right]dx} < 0\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} < \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \] hay D sai.
Chọn D.