Đề bài
Bài 1 [1 điểm] Tính các giới hạn sau
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6}}{{{x^2} - 2x - 3}}\].
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - 3x}}{{x - 2}}\].
Bài 2 [1 điểm] Tính giới hạn sau \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,3} \frac{{\sqrt {5x - 6} .\sqrt[3]{{3x - 1}} - 2x}}{{{x^2} - x - 6}}\].
Bài 3 [1 điểm] Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục tại \[{x_0} = 1\]
\[f[x] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{5{x^3} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}} & khi\,\,x > 1\\4ax + 5\,\,\,\, & khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\].
Bài 4 [2 điểm] Tính đạo hàm các hàm số sau
a] \[y = \sqrt {7{x^2} + 8x + 5} \].
b] \[y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}\].
c] \[y = {\cos ^3}8x\].
Bài 5 [1 điểm] Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3x + 1\] có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:{\rm{ }}y = 9x - 15\].
Bài 6 [4 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh \[2a\]. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và \[SA = 2a\sqrt 3 \].
a] [1đ] Chứng minh \[\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\], \[\left[ {SAC} \right] \bot \left[ {SBD} \right]\].
b] [1đ] Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\].
c] [1đ] Tính góc giữa mặt phẳng [SBD] và mặt phẳng [ABCD].
d] [1đ] Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng\[\left[ {SBD} \right]\] và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng [SBD].
Lời giải chi tiết
BÀI 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Phân tích thành nhân tử, rút gọn để khử dạng \[\frac{0}{0}\].
b] Chia cả tử và mẫu cho \[x\].
Cách giải:
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6}}{{{x^2} - 2x - 3}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + x - 6} \right]}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left[ {{x^2} + x - 6} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]}} = \frac{3}{2}\] .
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - 3x}}{{x - 2}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 3x}}{{x\left[ {1 - \frac{2}{x}} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 3}}{{\left[ {1 - \frac{2}{x}} \right]}} = - 5\end{array}\] .
BÀI 2 [VDC]:
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
BÀI 3 [VD]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ 1 \right] = 4a + 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{5{x^3} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{5{x^2} + 5x + 1}}{{x + 1}}\\ = \frac{{11}}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {4ax + 5} \right]\\ = 4a + 5\end{array}\]
Hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right]\\ \Leftrightarrow 4a + 5 = \frac{{11}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{8}.\end{array}\]
BÀI 4 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng công thức \[\left[ {\sqrt u } \right]' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\].
b] Sử dụng quy tắc \[\left[ {\frac{u}{v}} \right]' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\].
c] Sử dụng công thức
\[\begin{array}{l}\left[ {{u^n}} \right]' = n{u^{n - 1}}.u'\\\left[ {{\mathop{\rm coskx}\nolimits} } \right]' = - k\sin kx\end{array}\].
Cách giải:
a] \[y = \sqrt {7{x^2} + 8x + 5} \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \frac{{\left[ {7{x^2} + 8x + 5} \right]'}}{{2\sqrt {7{x^2} + 8x + 5} }}\\ = \frac{{7x + 4}}{{\sqrt {7{x^2} + 8x + 5} }}\end{array}\]
b] \[y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \frac{{\left[ {\sqrt x } \right]'\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 1} \right]'\sqrt x }}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}\left[ {x + 1} \right] - \sqrt x }}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \frac{{\left[ {x + 1} \right] - 2x}}{{2\sqrt x {{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \frac{{1 - x}}{{2\sqrt x {{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\end{array}\]
c] \[y = {\cos ^3}8x\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3\left[ {\cos 8x} \right]'{\cos ^2}8x\\ = - 24\sin 8x{\cos ^2}8x\end{array}\]
BÀI 5 [VD]:
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là:
\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3\]
Gọi là tiếp điểm . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d\[ \Rightarrow {k_{tt}} = {k_d} = 9\]
Ta có \[f'\left[ {{x_0}} \right] = 9\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 9\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Với , Phương trình tiếp tuyến là: \[d:{\rm{ }}y = 9x - 15\,\,\left[ {ktm} \right]\]
Với , Phương trình tiếp tuyến là: \[d:{\rm{ }}y = 9x + 17\,\,\left[ {tm} \right]\]
BÀI 6:
Phương pháp:
a] \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left[ P \right]\\\left[ Q \right] \supset d\end{array} \right. \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].
b] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
c] Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
d] Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.
Cách giải:
a] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left[ {gt} \right]\\BC \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABCD} \right]} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow BC \bot \left[ {SAB} \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABCD} \right]} \right]\\BD \bot AC\,\,\,\left[ {gt} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\\ \Rightarrow \left[ {SBD} \right] \bot \left[ {SAC} \right]\end{array}\].
b] Ta có \[BC \bot \left[ {SAB} \right]\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {SC;\left[ {SAB} \right]} \right]\] \[ = \angle \left[ {SC;SB} \right] = \angle CSB\]
Trong tam giác \[SBC\] vuông tại \[B\] ta có:
\[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \] \[ = \sqrt {12{a^2} + 4{a^2}} = 4a\]
\[BC = 2a\] \[ \Rightarrow \tan \angle CSB = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow \angle CSB \approx {26^0}34'\]
Vậy \[\angle \left[ {SC;\left[ {SAB} \right]} \right] \approx {26^0}34'\].
c] Gọi \[O = AC \cap BD\].
Ta có: \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\,\,\left[ {cmt} \right]\]\[ \Rightarrow BD \bot SO\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SBD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = BD\\\left[ {SBD} \right] \supset SO \bot BD\\\left[ {ABCD} \right] \supset AO \bot BD\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {\left[ {SBD} \right];\left[ {ABCD} \right]} \right]\] \[ = \angle \left[ {SO;AO} \right] = \angle SOA\]
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[2a\]\[ \Rightarrow AC = BD = 2a\sqrt 2 \] \[ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \] .
Trong tam giác vuông \[SAO\] ta có: \[SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} \]\[ = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {14} \] .
\[ \Rightarrow \tan \angle SOA = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 7 \]\[ \Rightarrow \angle SOA \approx {69^0}18'\].
Vậy \[\angle \left[ {\left[ {SBD} \right];\left[ {ABCD} \right]} \right] \approx {69^0}18'\].
d] Trong \[\left[ {SAO} \right]\] kẻ \[AH \bot SO\,\,\left[ {H \in SO} \right]\].
Ta có \[BD \bot \left[ {SAC} \right] \Rightarrow BD \bot AH\].
\[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left[ {SBD} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right] = AH\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SOA\] ta có: \[AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }}\]\[ = \frac{{2a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\].
Vậy \[d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right] = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\].
Trong \[\left[ {SAB} \right]\], gọi \[I = AG \cap SB\] ta có: \[AG \cap \left[ {SBD} \right] = I\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{d\left[ {G;\left[ {SBD} \right]} \right]}}{{d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right]}} = \frac{{GI}}{{AI}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow d\left[ {G;\left[ {SBD} \right]} \right] = \frac{1}{3}d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right]\\ = \frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt {21} a}}{7} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{{21}}\end{array}\].