De thi học kì 2 Toán 8 Dịch Vọng

[1]

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• Đề bài
• LG bài 1
• LG bài 2
• LG bài 3
• LG bài 4
• LG bài 5

Đề bài

Bài 1  [2,0 điểm]: Cho biểu thức: \[A = \left[ {\dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right].\dfrac{{{x^2} + x}}{{3x + 9}}\]  với \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\]

a] Chứng minh \[A = \dfrac{x}{{x + 3}}\]

b] Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[\left| {x - 2} \right| = 1\]

c] Tìm \[x\] để \[A < 1.\]

Bài 2 [2,0 điểm]: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.

Trong thời gian nghỉ do dịch Covid-19, An dự định tự ôn tập kiến thức bằng cách làm thêm các bài tập trong sách tham khảo. Lúc đầu An dự định sẽ hoàn thành trong 40 ngày. Nhưng thực tế, mỗi ngày An làm được nhiều hơn 1 bài nên đã hoàn thành số bài tập đó sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày An làm được bao nhiêu bài tập?

Bài 3 [2,0 điểm]: Giải các phương trình sau:

a] \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 2\left[ {{x^2} - 4} \right]\]

b] \[\left| {x - 2} \right| + 3 = 2x\]

c] \[\dfrac{3}{{x - 7}} + \dfrac{2}{{x + 7}} = \dfrac{5}{{{x^2} - 49}}\]

d] \[\dfrac{{2x - 1}}{3} - \dfrac{{x + 3}}{2} > 1 + \dfrac{{5x}}{6}\]

Bài 4 [3,5 điểm]:

1. Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A có AH là đường cao.

a] Chứng minh: \[\Delta HAC \backsim \Delta ABC\]

b] Vẽ \[HD \bot AB\left[ {D \in AB} \right],\] \[HE \bot AC\left[ {E \in AC} \right].\] Chứng minh \[A{H^2} = AD.AB\]

c] Chứng minh: \[AD.AB = AE.AC\]

d] Tính tỉ số \[\dfrac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}}\]. Biết \[AB = 12cm,AC = 16cm.\]

2. Cho hình hộp chữ nhật có \[AB = 3cm,AD = 5cm,\] \[AA' = 6cm\] như hình bên. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Bài 5 [0,5 điểm]:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \[A = \dfrac{{27 - 12x}}{{{x^2} + 9}}\]. 

HẾT

LG bài 1

Phương pháp giải:

a] Qui đồng mẫu các phân thức, cộng trừ và rút gọn các phân thức 

b] Tìm x sau đó thay giá trị của x thỏa mãn điều kiện vào biểu thức A để tính toán

c] Đưa về giải bất phương trình, chú ý rằng \[\dfrac{B}{C} < 0\] thì B và C trái dấu 

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức: \[A = \left[ {\dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right].\dfrac{{{x^2} + x}}{{3x + 9}}\]  với \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\]

a] Chứng minh \[A = \dfrac{x}{{x + 3}}\]

Với \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\] ta có: \[A = \left[ {\dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right].\dfrac{{{x^2} + x}}{{3x + 9}}\]

\[ = \left[ {\dfrac{{2\left[ {x + 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} + \dfrac{{3\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} - \dfrac{{2x + 2}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}} \right]\]\[.\dfrac{{{x^2} + x}}{{3x + 9}}\]

\[ = \dfrac{{2\left[ {x + 1} \right] + 3\left[ {x - 1} \right] - \left[ {2x + 2} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}\] \[.\dfrac{{x\left[ {x + 1} \right]}}{{3\left[ {x + 3} \right]}}\]

\[\begin{array}{l} = \dfrac{{2x + 2 + 3x - 3 - 2x - 2}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}.\dfrac{{x\left[ {x + 1} \right]}}{{3\left[ {x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{3x - 3}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}.\dfrac{{x\left[ {x + 1} \right]}}{{3\left[ {x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{3\left[ {x - 1} \right].x\left[ {x + 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right].3\left[ {x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{x}{{x + 3}}\end{array}\]

Vậy \[A = \dfrac{x}{{x + 3}}\] với \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\].

b] Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi  \[\left| {x - 2} \right| = 1\]

Ta có: \[\left| {x - 2} \right| = 1\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\]

Mà điều kiện \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\] nên chỉ có \[x = 3\] thỏa mãn.

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[A = \dfrac{x}{{x + 3}}\] ta được:

\[A = \dfrac{3}{{3 + 3}}\] \[ = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\]

Vậy \[A = \dfrac{1}{2}\] khi \[\left| {x - 2} \right| = 1\]

c] Tìm \[x\] để \[A < 1.\]

Để \[A < 1\] thì \[\dfrac{x}{{x + 3}} < 1\] với \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 3}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{{x + 3}}{{x + 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - x - 3}}{{x + 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{x + 3}} < 0\end{array}\] 

Vì \[ - 3 < 0\] nên \[\dfrac{{ - 3}}{{x + 3}} < 0 \Leftrightarrow x + 3 > 0\] \[ \Leftrightarrow x >  - 3\]

Kết hợp điều kiện \[x \ne  - 3;x \ne  \pm 1\] ta có \[x >  - 3;x \ne  \pm 1\]

Vậy với \[x >  - 3;x \ne  \pm 1\] thì \[A < 1.\]

LG bài 3

Phương pháp giải:

a] Nhân đa thức với đa thức, chuyển vế rút gọn đưa về giải phương trình bậc nhất 1 ẩn

b] Phá dấu giá trị tuyệt đối \[\left| A \right| = A\] khi \[A \ge 0\] và \[\left| A \right| =  - A\] khi \[A < 0\]

c] Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 

B1: Đặt điều kiện và quy đồng mẫu thức

B2: Bỏ mẫu, chuyển vế đưa về giải phương trình bậc nhất 1 ẩn

B3: So sánh điều kiện và kết luận nghiệm

d] Quy đồng mẫu rồi đưa về giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.

Lời giải chi tiết:

a] \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 2\left[ {{x^2} - 4} \right]\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 2{x^2} - 8\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 2{x^2} - 8\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 - 2{x^2} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow  - {x^2} - x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {x - 2} \right] + 3\left[ {x - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { - 3;2} \right\}\]

b] \[\left| {x - 2} \right| + 3 = 2x\]

\[ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 2x - 3\]

TH1: \[x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\] \[ \Rightarrow \left| {x - 2} \right| = x - 2\]

Khi đó ta có phương trình:

\[\begin{array}{l}x - 2 = 2x - 3\\ \Leftrightarrow x - 2x = 2 - 3\\ \Leftrightarrow  - x =  - 1\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x = 1\] [không thỏa mãn]

TH2: \[x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\]

\[ \Rightarrow \] \[\left| {x - 2} \right| =  - \left[ {x - 2} \right]\]\[ = 2 - x\]

Khi đó ta có phương trình:

\[\begin{array}{l}2 - x = 2x - 3\\ \Leftrightarrow  - x - 2x =  - 2 - 3\\ \Leftrightarrow  - 3x =  - 5\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}\]  [thỏa mãn]

Vậy phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{5}{3}.\]

c] \[\dfrac{3}{{x - 7}} + \dfrac{2}{{x + 7}} = \dfrac{5}{{{x^2} - 49}}\]  Điều kiện: \[x \ne  \pm 7\]

\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left[ {x + 7} \right]}}{{\left[ {x - 7} \right]\left[ {x + 7} \right]}} + \dfrac{{2\left[ {x - 7} \right]}}{{\left[ {x + 7} \right]\left[ {x - 7} \right]}}\] \[ = \dfrac{5}{{\left[ {x - 7} \right]\left[ {x + 7} \right]}}\]

\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left[ {x + 7} \right] + 2\left[ {x - 7} \right]}}{{\left[ {x - 7} \right]\left[ {x + 7} \right]}} = \dfrac{5}{{\left[ {x - 7} \right]\left[ {x + 7} \right]}}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left[ {x + 7} \right] + 2\left[ {x - 7} \right] = 5\\ \Leftrightarrow 3x + 21 + 2x - 14 = 5\\ \Leftrightarrow 5x + 7 = 5\\ \Leftrightarrow 5x =  - 2\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{5}\] [thỏa mãn]

Vậy phương trình có nghiệm \[x =  - \dfrac{2}{5}\].

d] \[\dfrac{{2x - 1}}{3} - \dfrac{{x + 3}}{2} > 1 + \dfrac{{5x}}{6}\] 

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {2x - 1} \right].2}}{6} - \dfrac{{3\left[ {x + 3} \right]}}{6} > \dfrac{6}{6} + \dfrac{{5x}}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x - 2 - 3x - 9}}{6} > \dfrac{{6 + 5x}}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 11}}{6} > \dfrac{{5x + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow x - 11 > 5x + 6\\ \Leftrightarrow x - 5x > 6 + 11\\ \Leftrightarrow  - 4x > 17\\ \Leftrightarrow x