Các dạng Toán ôn thi vào lớp 10
- Dạng 1: Rút gọn biểu thức
- Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai
- Dạng 3: Phương trình và hệ phương trình
- Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Dạng 5: Bài tập Hình tổng hợp
I. Lí thuyết cần nhớ
* Bước 1: + Lập PT hoặc hệ Phương trình;
[nên lập bảng để tìm Phương trình]
- 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
- Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp
– Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
– Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập HPT.
* Bước 2: Giải PT hoặc HPT.
* Bước 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
II. Bài tập và hướng dẫn
1] Toán chuyển động
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đường AB?
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h [có cả vận tốc dòng nước] và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
2] Toán thêm bớt một lượng
Bài 5. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 6: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi kấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
3] Toán phần trăm
Bài 7. Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
4] Toán làm chung làm riêng
Bài 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 9. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.
5] Toán nồng độ dung dịch
Kiến thức: Biết rằng m lít chất tan trong M lít dung dịch thì nồng độ phần trăm là$ \displaystyle \frac{m}{M}.100%$
Bài 10: Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít thì dung dịch mới có nồng độ A xít là 50%. Lại thêm 300gam nước vào dung dịch mới ,ta được dung dịch A xít có nồng độ là 40%.Tính nồng độ A xít trong dung dịch đầu tiên.
HD: Khối lượng nước trong dung dịch đầu tiên là x gam, khối lượng A xít trong dung dịch đầu tiên là y gam Sau khi thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta cólượng A xít là: [ y + 200] gam và nồng độ là 50% Do đó tacó:$ \frac{{y+200}}{{y+200+x}}=\frac{1}{2}$$ \Rightarrow x-y=200$ [1]
Sau khi thêm 300 gam nước vào dung dịch thì khối lượng nước là: [x + 300] gam và nồng độ là 40%[=2/5] nên ta có: $ \frac{{y+200}}{{y+200+x+300}}=\frac{2}{5}$$ \Rightarrow 2x-3y=0$ [2]
Giải hệ [1] và [2] ta được x = 600; y = 400 Vậy nông độ A xít là: $ \frac{{400}}{{600+400}}=40%$
6]Toán nhiệt lượng
Kiến thức: Biết răng: + m Kg nước giảm t0C thì toả ra một nhiệt lượng Q = m.t [Kcal].
+ m Kg nước tăng t0C thì thu vào một nhiệt lượng Q = m.t [Kcal].
Bài 11: Phải dùng bao nhiêu lít nước sôi 1000C và bao nhiêu lít nước lạnh 200C để có hỗn hợp 100lít nước ở nhiệt độ 400C.
HD: Gọi khối lượng nước sôi là x Kg thì khối lượng nước lạnh là: 100 – x [kg]
Nhiệt lương nước sôi toả ra khi hạ xuống đến 400C là: x[100 – 40] = 60x [Kcal]
Nhiệt lượng nước lạnh tăng từ 200C -đến 400C là: [100 – x].20. [Kcal]
Vì nhiệt lượng thu vào bằng nhiệt lượng toả ra nên ta có : 60x = [100 – x].20
Giải ra ta có: x = 25.Vậy khôí lượng nước sôi là 25Kg; nước lạnh là 75 Kg tương đương với 25lít và 75 lít.
7] Các dạng toán khác
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 $ {{m}^{2}}$. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế.
Series Navigation>
1. Các kiến thức cần nhớ
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
-Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.
Bước 3. Kết luận
- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Kết luận bài toán.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Toán liên quan đến mối quan hệ giữa các số
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
+] Biểu diễn số có hai chữ số : $\overline {ab} = 10a + b$ trong đó
$a$ là chữ số hàng chục và $0 < a \le 9$, $a \in \mathbb{N}$,
$b$ là chữ số hàng đơn vị và $0 \le b \le 9,b \in \mathbb{N}$.
+] Biểu diễn số có ba chữ số: $\overline {abc} = 100a + 10b + c$ trong đó
$a$ là chữ số hàng trăm và $0 < a \le 9$, $a \in \mathbb{N}$,
$b$ là chữ số hàng chục và $0 \le b \le 9,b \in \mathbb{N}$,
$c$ là chữ số hàng đơn vị và $0 \le c \le 9,c \in \mathbb{N}$.
Dạng 2: Toán chuyển động
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các công thức $S = v.t$, $v = \dfrac{S}{t},t = \dfrac{S}{v}$
Với $S:$ là quãng đường, $v:$ là vận tốc, $t$: thời gian
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Phương pháp:
Một số lưu ý khi giải bài toán làm chung công việc
- Có ba đại lượng tham gia là: Toàn bộ công việc , phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian [năng suất] và thời gian.
- Nếu một đội làm xong công việc trong $x$ ngày thì một ngày đội dó làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc.
- Xem toàn bộ công việc là $1$ [công việc].
Dạng 4: Toán phần trăm
Phương pháp:
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a\% $ là $[100 + a]\% .x$ [sản phẩm]
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a\% $ là $[100 - a]\% .x$ [sản phẩm].
Dạng 5: Toán có nội dung hình học
Phương pháp:
Một số công thức cần nhớ
Với tam giác:
Diện tích = [Đường cao x Cạnh đáy] $:2$
Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh
Với tam giác vuông: Diện tích = Tích hai cạnh góc vuông$:2$
Với hình chữ nhật:
Diện tích = Chiều dài. Chiều rộng
Chu vi=[Chiều dài + chiều rộng] $.2$
Với hình vuông cạnh $a$
Diện tích = ${a^2}$
Chu vi = Cạnh . $4$
Kiến thức cần nhớ
Để giải toán bằng cách lặp phương trình, cần “phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài
toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập phương trình diễn đạt sự tương
quan giữa các đại lượng trong bài toán. Để làm tốt việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến nội dung bài toán như :
Quãng đường = vận tốc x thời gian [toán chuyển động]
Sản lượng = năng suất x thời gian [toán năng suất]
Nhiệt lượng thu vào = nhiệt lượng toả ra [toán truyền nhiệt]
………..
Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp [ví dụ 18], đôi khi ta cần chọn ẩn gián iếp để được phương trình đơn giản [ví dụ 19].
Ví dụ 18.
Ví dụ 19.
Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3km/h thì ca nô đến nơi sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì ca nô đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.
Giải
Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km/h, thời gian dự định đi khúc sông AB là y giờ, thì khúc sông AB dài xy km [điều kiện x > 3, y > 2].
Trong trường hợp đầu, ca nô có vận tốc x + 3 km/h, đi trong y – 2 giờ, được xy km nên có phương trình
[x + 3][y – 2] = xy.
Trong trường hợp sau, ca nô có vận tốc x – 3 km/h, đi trong y + 3 giờ cũng được xy km nên có phương trình
[x – 3][y + 3] = xy.
Giải hệ phương trình
ta được x = 15, y = 12, thoả mãn điều kiện.
Khúc sông AB dài 15.12 = 180 [km].
Chú ý
Các bài toán sau cũng dẫn đến hệ phương trình trên :
1. Tính các kích thước của một hình chữ nhật biết rằng nếu tăng chiều dài 3m, giảm chiều rộng 2m thì diện tích không đổi ; nếu giảm chiều dài 3m, tăng chiều rộng 3m thì diện tích không đổi.
2. Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong thời gian quy định. Nếu mỗi ngày làm tăng 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày, nếu mỗi ngày làm giảm 3 dụng cụ thì phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao.
3. Để sửa chữa một quãng đường, cần huy động một số người làm trong thời gian dự định. Nếu bổ sung thêm 3 người thì thời gian hoàn thành rút ngắn được 2 ngày. Nếu bớt đi 3 người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính số người dự định huy động và số ngày dự định hoàn thành quãng đường đó.
4. Trong một trang sách, nếu tăng thêm 3 dòng, mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi ; nếu bớt đi 3 dòng, mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi. Tính số chữ trong trang sách.
5. Câu lạc bộ có một số ghế quỵ định. Nếu thêm 3 hàng ghế thì mỗi hàng bớt được 2 ghế. Nếu bớt đi 3 hàng thì mỗi hàng phải thêm 3 ghế. Tính số ghế của câu lạc bộ.
BÀI TẬP
TOÁN VỀ TỈ SỐ, VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
109.
Một vườn hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu giảm chiều dài đi chiều dài cũ, tăng chiều rộng thêm chiều rộng cũ thì chu vi vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.
110.
Tuổi của hai anh em hiện nay cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiên nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
111.
Có ba thùng đựng nước. Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng I sang hai thùng kia một số nước bằng số nước mỗi thùng đó đang có. Lần thứ hai, người ta đổ ở thùng II sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số nước mỗi thùng đó đang có. Lần thứ ba, người ta đổ ở thùng III sang hai thùng kia một số nước bằng số nước mỗi thùng đó đang có. Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. Tính số nước ở mỗi thùng có lúc đầu.
TOÁN PHẦN TRĂM
112.
Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?
113.
Dân số của một thành phố hiện nay là 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số thành phố là bao nhiêu?
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
114.
Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, và đi từ B về A hết 41 phút [vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về như nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về như nhau]. Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
115.
Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi. Biết thời gian ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4km. Tính vận tốc của dòng nước.
TOÁN VỀ SỰ THAY ĐỔI CÁC THỪA SỐ CỦA TÍCH
116.
Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nèn hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước thời hạn 3 giờ mà còn làm thêm 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi người được giao.
TOÁN CÓ NỘI DUNG LÍ HÓA
117.
Vào thế kỉ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 niu-tơn [theo đơn vị hiện nay], nhúng trong
nước thì trọng lượng giảm 0,3 niu-tơn. Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc
[Vật có khối lượng 100g thì có trọng lượng 1 niu-tơn].
118.
Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.
TOÁN VỀ TÌM THỜI GIAN MỖI ĐƠN VỊ LÀM MỘT MÌNH CONG CÔNG VIỆC
119.
Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì
ngày xong công việc. Nhưng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi máy làm việc một mình thì trong bao lâu cày xong cả cánh đồng ?
VÀI BÀI TOÁN CỔ
120. [Bài toán cổ trong Tuyển tập toán bằng thơ của Hi Lạp]
Lừa và ngựa thồ hàng ra chợ,
Ngựa than thở mình chở quá nhiều.
Lừa rằng : “Anh chớ lắm điều !
Tôi đây mới bị chất đầy làm sao !
Anh đưa tôi một bao mang bớt
Thì tôi thồ nhiều gấp đôi anh.
Chính tôi phải trút cho anh
Một bao gánh đỡ mới thành bằng nhau”.
Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao ?
121.
Buổi sáng mặt trời ló ngọn tre,
Rủ nhau đi hái mấy giỏ chè.
Mỗi người một giỏ, thừa ba giỏ.
Hái vội cho xong kẻo nắng hè !
Ví thử hái nhanh thêm một giỏ,
Mỗi người hai giỏ, tiện đường chia.
Hỏi người làm rẫy bên đồi núi,
Mấy chị ra đi, mấy giỏ chè?
122.
Một đoàn em bé tắm bên sông,
Lấy ống làm phao, nổi bềnh bồng.
Hai chú một phao, thừa bảy chiếc,
Hai phao một chú, bốn người không.
Hỡi người thạo tính, cho hỏi thử,
Mấy phao, mấy chú, tính cho thông ?
CÁC BÀI TOÁN VỚI NGHIỆM NGUYÊN DƯƠNG
123.
Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.
124.
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục và hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết được thành một tích của ba thừa số, mỗi thừa số gồm hai chữ số giống nhau
125.
Tìm một số chính phương có bốn chữ số biết rằng nếu mỗi chữ số giảm đi thì được một số mới cũng là số chính phương.
126.
Nếu ta thêm 3 vào mỗi chữ số của một số chính phương có bốn chữ số [mỗi chữ số của số chính phương này đều nhỏ hơn 7] thì được một số chính phương mối. Tìm hai số chính phương đó.
127.
Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2.
128.
Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.
Xem hướng dẫn giải tại đây.