Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

a] Không giải hệ phương trình, cho biết ᴠới giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duу nhất.

Bạn đang хem: Hệ phương trình có ᴠô ѕố nghiệm khi nào

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất cực hay

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất cực hay

A. Phương pháp giải

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm [x;y] theo tham số m.

Liên quan: hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi nào

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình

[m là tham số].

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm [x;y] thỏa mãn x2 + y2 = 5.

Hướng dẫn:

Vì

nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất [x;y].

Vậy m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

[a là tham số].

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

là số nguyên.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất [x;y] = [a;2].

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:

[I] [m là tham số].

Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.

Hướng dẫn:

C. Bài tập trắc nghiệm

Sử dụng hệ sau trả lời câu 1, câu 2, câu 3.

Cho hệ phương trình sau [I]:

Câu 1: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.

 A. m = 0

 B. m = 1

 C. m = 0 hoặc m = -1

 D. m = 0 hoặc m = 1

Câu 2: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y > 0.

 A. m > 0

 B. m < 0

 C. m < 1

 D. m > 1

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 1.

 A. m > 0

 B. với mọi m khác 0

 C. không có giá trị của m

 D. m < 1

Sử dụng hệ sau trả lời câu 4, câu 5.

Cho hệ phương trình:

.[m là tham số].

Câu 4: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x – 1 > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với mọi m thì hệ có nghiệm duy nhất.

 B. với m > 2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 C. với m > -2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 5: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho

. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với m = 0 hoặc m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 B. với m = 0 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 C. với m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 D. Cả A, B, C đều đúng.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 6.

Cho hệ phương trình:

.[m là tham số].

Câu 6: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 3x – y = 5.

 A. m = 2,

 B. m = – 2

 C. m = 0,5

 D. m = – 0,5

Câu 7: Cho hệ phương trình:

.[m là tham số].

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x2 – 2y2 = -2.

 A. m = 0

 B. m = 2

 C. m = 0 hoặc m = -2

 D. m = 0 hoặc m = 2

Câu 8: Cho hệ phương trình:

. [m là tham số], có nghiệm [x;y]. Với giá trị nào của m để A = xy + x – 1 đạt giá trị lớn nhất.

 A. m = 1

 B. m = 2

 C. m = -1

 D. m = 3

Câu 9: Cho hệ phương trình:

. [m là tham số], có nghiệm [x;y]. Tìm m nguyên để T = y/x nguyên.

 A. m = 1

 B. m = -2 hoặc m = 0

 C. m = -2 và m = 1

 D. m = 3

Câu 10: Tìm số nguyên m để hệ phương trình:

. [m là tham số], có nghiệm [x;y] thỏa mãn x > 0, y < 0.

 A. m ∈ Z

 B. m ∈ {-3;-2;-1;0}

 C. vô số.

 D. không có

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:

• Giải HPT bằng phương pháp thế.

• Giải HPT bằng phương pháp cộng đại số.

• Giải HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

• HPT bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

• Tìm điều kiện của m để HPT có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y – không phụ thuộc vào m

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại banmaynuocnong.com

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé!

Phương trình có nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình có nghiệm

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

\[f[x_{1}, x_{2},…] = g[x_{1}, x_{2},…]\]     [1]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = f[x_{1}, x_{2},…] – g[x_{1}, x_{2},…]\]     [2]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = 0\]     [3]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]     [4]

Trong đó \[x_{1}, x_{2}\],… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình [1] có \[f[x_1,x_2,…]\] là vế trái, \[g[x_1,x_2,…]\] là vế phải.

Ở [4] ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là bộ \[x_{1}, x_{2},…\] tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức tổng quát

• Phương trình \[f[x] = 0\] có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi \[\left\{\begin{matrix} x = a\\ f[a] = 0 \end{matrix}\right.\], điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như \[f[x,y,z,..] = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ y = b\\ z = c\\ f[a,b,c] = 0 \end{matrix}\right.\]
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \[S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 \[ax^{2} + bx + c = 0 [a\neq 0]\] có nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thì \[S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\]

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:

• Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\]
• Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\]
• Có 2 nghiệm trái dấu là: \[\Delta \geq 0; P< 0\]

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} ax + by = c [d] [a^{2} + b^{2} \neq 0]\\ a’x + b’y = c’ [d’] [a’^{2} + b'{2} \neq 0] \end{matrix}\right.\]
• Hệ phương trình có một nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] cắt [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} [a’,b’\neq 0]\]
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] trùng [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} [a’,b’, c’\neq 0]\]
• Hệ phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow [d]\parallel [d’] \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} [a’,b’,c’ \neq 0]\]

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \[\sin x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\cos x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\tan x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan x = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \[\csc x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \[x^{2} – 2[m+3]x + 4m-1 =0\] [1]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình [2] có hai nghiệm dương

\[\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+3]^{2} – [4m-1]\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2[m+3]>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+1]^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\]

Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \[x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\] [1]

Cách giải:

Đặt \[x^{2} = y \geq 0\]. Điều kiện để phương trình [2] có nghiệm là phương trình \[y^{2} + my + 2m – 4 = 0\] [3] có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \[\Delta = m^{2} – 4[2m-4] = [m-4]^{2} \geq 0\] với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình [1] có hai nghiệm đều âm là:

\[\left\{\begin{matrix} P>0\\ S0\\ -m2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\]

Vậy điều kiện để phương trình [3] có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\leq 2\]

\[\Rightarrow\] phương trình [2] có nghiệm khi \[m\leq 2\]

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\[\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = \frac{m+1-mx}{2}\]

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \[2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\]

\[\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\]

\[x[m^{2} – 4] = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x[m-2][m+2] = [m – 2][m – 1]\]

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\] thì \[x = \frac{m-1}{m+2}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \[y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\]

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\]

Ta cần tìm \[m\in \mathbb{Z}\] sao cho \[x,y\in \mathbb{Z}\]

Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \[\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Các giá trị này thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\]

Vậy \[m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

[Nguồn: www.youtube.com]

Xem thêm:

Please follow and like us: