Hình chóp tứ giác đều là kiến thức hình học không gian vô cùng quan trọng. Bởi trong rất nhiều bài kiểm tra cũng như kỳ thi đều đề cập tới nội dung này. Bạn muốn tìm hiểu thông tin, cập nhật nội dung mới nhất hãy đọc ngay bài viết sau.
I. Thế nào là hình chóp tứ giác đều?
Trước khi đi vào giải bài tập chúng ta cần ôn lại kiến thức lý thuyết về hình chóp tứ giác đều. Hơn hết, đây cũng là nền tảng quan trọng giúp các em làm tốt các dạng toán.
1. Khái niệm
Hình chóp tứ giác đều được hiểu là hình chóp có phần đáy là hình vuông. Đồng thời, đường cao của hình chóp sẽ đi qua tâm đáy [giao của hai đường chéo hình vuông].
Hình chóp
2. Tính chất
Tính chất của hình chóp tứ giác đều bao gồm những điều sau đây:
- Phần đáy luôn là hình vuông.
- Tất cả các cạnh bên của hình chóp luôn bằng nhau.
- Tất cả các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân bằng nhau.
- Phần chân của đường cao sẽ trùng với tâm đáy [tâm đáy chính là giao điểm của hai đường chéo].
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên cũng như mặt đáy sẽ bằng nhau.
- Tất cả các góc được tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều sẽ bằng nhau.
3. Công thức tính thể tích
Muốn tính được thể tích của hình chóp tứ giác đều ta cần kết hợp nhiều công thức khác nhau. Điển hình như diện tích hình vuông, đường chéo hình vuông. Cụ thể:
- Công thức tính diện tích hình vuông bằng bình phương chiều dài cạnh hình vuông: S = a.a.
- Tính đường chéo hình vuông: cạnh x [căn bậc hai].
Từ những dữ kiện kể trên ta mới có thể suy ra được công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều: V = 1/3 .SABCD. SO.
4. Công thức tính diện tích xung quanh
Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều là tổng diện tích các mặt bên. Hay nói cách khác, chúng ta tính tổng diện tích của 4 tam giác sẽ có được kết quả cần tìm.
Ví dụ: Thực hiện tính diện tích xung quanh của hình chóp SABCD. Biết rằng đáy là hình vuông có nửa chu vi đáy là 15cm và độ dài trung đoạn bằng 7.
Lời giải:
Ta có Sxq = p.d suy ra SxqSABCD = 15.7 = 105 cm. Như vậy, diện tích xung quanh của hình chóp SABCD là 105cm.
5. Công thức tính diện tích toàn phần
Muốn tính diện tích toàn phần của hình chóp ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy của hình chóp. Cụ thể:
II. Bài tập về chóp tứ giác đều SGK 12
Khối chóp tứ giác đều có nhiều dạng bài tập khác nhau. Muốn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng bạn nên dành thời gian tìm hiểu ngay nội dung dưới đây:
1. Bài số 1 trang 49 sách giáo khoa Hình học lớp 12
Bài yêu cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Biết rằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a.
Lời giải:
- Ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a.
- Suy ra ABCD là hình vuông có cạnh a, với SA = SB = SC = SD = a.
Ta gọi điểm O chính là hình chiếu của A trên hình vuông ABCD. Suy ra, điểm O là tâm của hình vuông ABCD.
2. Bài số 9 trang 26 SGK hình học lớp 12
Bài số 9 trang 26 SGK hình học lớp 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Trong đó, phần đáy có hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy bằng một góc 60 độ. Ta gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại điểm E, cắt SD tại điểm S. Yêu cầu tính thể tích của khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
Căn cứ vào hình vẽ ta có những điều sau:
- Cạnh BD vuông góc với cạnh AC.
- Cạnh BD vuông góc với cạnh SH
Từ hai điều trên ta có thể nhận định cạnh BD vuông góc với [SAC], suy ra cạnh EF vuông góc với [SAC].
III. Một số bài tập về chóp tứ giác đều SBT
Ngoài các bài tập trong SGK các em cũng nên tìm hiểu thêm nội dung trong SBT. Càng tích cực nhiều bao nhiêu học sinh càng nâng cao kỹ năng bấy nhiêu. Điều này vô cùng có lợi khi chúng ta không bị bỡ ngỡ nếu gặp phải dạng toán tương tự.
Toán hình đòi hỏi sự tưởng tượng cao và khả năng tư duy logic. Vì thế, những nội dung dưới đây chắc chắn sẽ trở thành nguồn tư liệu tham khảo hữu ích dành cho mọi độc giả.
1. Bài số 1.3 Sách bài tập trang 9 hình học 12
Đề bài yêu cầu chia hình chóp tứ giác đều thành 8 hình chóp bằng nhau:
Lời giải:
Đối với bài tập này các em cần tiến hành vẽ hình chóp, chia phần đáy thành 8 tam giác bằng nhau. Tiếp đến chứng minh các hình chóp có đỉnh là đỉnh của hình chóp ban đầu, phần đáy là mỗi tam giác vừa có được nên sẽ bằng nhau. Kiến thức lý thuyết cần áp dụng là hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Vẽ hình
- Ta gọi điểm O = AC giao với BD tại các điểm M, N, P, Q. Những điểm này lần lượt là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. Khi đó, các tam giác AOM, BOM, BON, CON, COP, DOP. DOQ, AOQ sẽ bằng nhau.
- Ta tiến hành chứng minh các hình chóp S.AOM, S.BOM, S.BON, S.CON, S.COP, S.DOP, S.DOQ, S.AOQ bằng nhau.
- Xét hai hình chóp S.AOM và S.BOM có cạnh SA = cạnh SB; cạnh AO = cạnh BO; cạnh BM = cạnh AM. Đồng thời SO chung, SM chung và OM chung. Do đó, hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau nên ta có 8 hình chóp bằng nhau.
2. Bài tập 1.49 trang 22 SBT hình học 12
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Ta lấy điểm A’ sao cho SA’ = SA. Mặt phẳng A’ sẽ song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh SB, SC và SD lần lượt tại các điểm B’, C’, D’. Khi đó, thể tích hình chóp S.A’B’C’D’ bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Muốn giải quyết được bài tập này ta sẽ chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác và tiến hành tính tỉ số thể tích. Đồng thời, các em hãy sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác.
Trên đây là nội dung chi tiết về lý thuyết cùng bài tập về hình chóp tứ giác đều cụ thể. Hi vọng các em học sinh cùng quý thầy cô đã tìm thấy thông tin tham khảo hữu ích. Hãy tiếp tục theo dõi chuyên trang để không bỏ lỡ những kiến thức bổ ích khác.