Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung hai đường chéo nhau.
- Đường thẳng$\Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhaua, bvà cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung củaavàb.
- Đường thẳng vuông góc chung $\Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhauavàblần lượt tạiMvàNthì độ dài đoạn thẳngMNgọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauavàb.
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau avàb. Gọi $\left[ \beta\right]$ là mặt phẳng chứabvà song song vớia,alà hình chiếu vuông góc củaatrên $\Rightarrow CD\bot [SHC]\Rightarrow \overset\frown{SCH}={{60}^{\circ }}$.
Vì $a//\left[ \beta\right]$ nên $a//a'$. Gọi $N=a'\cap b$ và $\left[ \alpha\right]$ là mặt phẳng chứaavàa. Dựng đường thẳng $\Delta $ quaNvà vuông góc chung vàMNlà đoạn vuông góc chung củaavàb.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Phương pháp Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối chóp đỉnhScó đường caoSH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhaud[thuộc mặt đáy] và đường thẳngSCthuộc bên khối chóp trong trường hợp $d\bot SC$.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc củaSCtrên mặt phẳng đáy làHC
Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{} SC\bot d \\{} SH\bot d \\ \end{array} \right.\Rightarrow d\bot \left[ SHC \right]$
Gọi $M=d\cap HC$, dựng $MK\bot SC$ khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng $HE\bot SC$ khi đó $\frac{MK}{HE}=\frac{MC}{HC}\Rightarrow MK=\frac{MC}{HC}.HE$
Xét tam giác vuông SHC ta có: $\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}\Rightarrow HE=MK=d\left[ d;SC \right]$
Bài tập tính khoảng cách giữa 2 đường thăng vuông góc với nhau và chéo nhau
| Bài tập 1:Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnhavà $SA\bot [ABCD]$. Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $ a] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD b] Tính khoảng cách giữa BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $AC=a\sqrt{2}$. Do $SA\bot \left[ ABCD \right]$ và SC tạo với đáy góc $60{}^\circ $ nên $\widehat{SCA}=60{}^\circ $
Khi đó $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$
Do $\left\{ \begin{array}{} AB\bot AD \\{} AB\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [SAD]$
Dựng $AH\bot SD$ suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Ta có: $\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}$
b] Ta có: $BD\bot SC$ tại O và $BD\bot SA$$\Rightarrow BD\bot \left[ SAC \right]$
Dựng $OK\bot SC$$\Rightarrow OK\bot BD$ nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Do đó $d\left[ BD;SC \right]=OK=OC\sin \widehat{OCK}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{4}$
| Bài tập 2:Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh a, gọiIlà trung điểm củaAB. Hình chiếu vuông góc củaStrên mặt đáy là trung điểmCI.Biết chiều cao của khối chóp là $h=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách d giữa đường thẳngABvàSC. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\left\{ \begin{array}{} CI\bot AB \\{} SH\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [SIC]$
Dựng $IF\bot SC$ khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng $HE\bot SC$ ta có: $HE=\frac{1}{2}IF$
Lại có $CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$