Giới thiệu
Đây là chủ đề khó, hay xuất hiện ở ý 3 hoặc ý 4 câu số 4 [hình học], thường chiếm 0.5 đến 1 điểm. Câu hỏi này dùng để phân loại học sinh, học sinh nếu muốn được từ 8 điểm trở lên nên làm được câu hỏi loại này.
Do số lượng câu hỏi về loại này rất đa dạng nên bài tập ở đây chỉ mang mục đích giới thiệu.
Phương pháp giải
Để chứng minh ba điểm \[A,B,C\] thẳng hàng theo thứ tự đó phương pháp cơ bản là chứng minh hai đường thẳng \[AB,AC\] trùng nhau.
Một số cách hay dùng được phát triển từ phương pháp cơ bản để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cách 1.
Ba điểm phân biệt \[A,B,C\] theo thứ tự nằm trên một đường thẳng, ta chỉ ra \[ \widehat{ABC}=180^\circ \]
Cách 2.
Để chứng minh ba điểm \[ A,B,C \] thẳng hàng, ta chứng minh hai đường thẳng \[AB\] và \[AC\] cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng.
Cách 3.
Để chứng minh ba điểm \[A,B,C \] thẳng hàng ta chứng minh theo hướng. Lấy một điểm \[D\] và ta chỉ ra
\[ \widehat{DAB}=\widehat{DAC} \].
Cách 4.
Sử dụng các tính chất của của các đường đặc biệt, đường tròn,... để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 1: Nếu ba điểm \[A,B,C \] cùng cách đều hai đầu mút của doạn thẳng thì ba điểm này thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó và do đó chúng thẳng hàng.
Ví dụ 2: Nếu \[B\] là tâm đường tròn đường kính \[AC\] thì \[ A,B,C \] thẳng hàng.
Cách 5. Sử dụng điểm phụ
Ta thường dùng hai cách sau:
- Để chứng minh ba điểm \[A,B,C \] thẳng hàng, nếu ta xác định điểm \[D \] khác \[ A,B,C \] mà 2 trong 3 bộ ba điểm \[A,B,D\] hoặc \[ A,C,D \] hoặc \[ B,C,D \] thẳng hàng thì suy ra \[ A,B,C,D \] thẳng hàng. Nói riêng là \[ A,B,C \] thẳng hàng.
- Giả sử điểm \[C\] thuộc hình \[ [ \Gamma ] \]. Giả sử \[AB\] cắt hình \[ [\Gamma] \] tại \[ C' \]. Chứng minh \[ C' \] có tính chất như điểm \[ C\] từ đó suy ra \[ C\equiv C' \]. Do đó \[ A,B,C \] thẳng hàng.
Lỗi sai thường gặp
- Học sinh thường ngộ nhận về ba điểm thẳng hàng do vẽ hình rơi vào các trường hợp đặc biệt.
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho nửa đường tròn đường kính \[AB\]. Lấy điểm \[C\] thuộc đoạn \[AB\] sao cho \[ CA A, M, B thẳng hàng [theo tiên đề Ơclit].
2. Sử dụng tính chất góc bẹt
Nếu cùng tạo với nhau thành 1 góc có \[180^o\] thì 3 điểm thẳng hàng.
Ví dụ:
Ta thấy \[\widehat{ABC} = 180^o\] => A, B, C thẳng hàng.
3. Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Nếu 3 điểm đều cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng nào đó thì 3 điểm thẳng hàng.
Ví dụ:
Sau khi chứng minh H, I, K cùng thuộc đường trung trực của AB => H, I, K thẳng hàng.
4. Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
Mỗi một góc bẹt chỉ có 1 tia phân giác duy nhất.
Ví dụ:
OA, OB đều là tia phân giác của \[\widehat{xOy}\].
=> A, O, B thẳng hàng
5. Sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc
3 điểm đã cho cùng vuông góc với 1 đường thẳng nào đó.
Ví dụ:
Ta có: AH \[\perp \] \[xy\], BH \[\perp \] \[xy\] => A, H, B thẳng hàng.
6. Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác
Sau khi chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC, AD là trung tuyến của tam giác ABC
=> A, I, D thẳng hàng.
Sau khi học xong các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, có thể tham khảo các dạng bài tập.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có các phương pháp sau .....
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có các phương pháp sau .....
Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
I . Phương pháp chứng minh :
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp 1 : Sử dụng tính chất góc bẹt
+ ] Chứng minh $\widehat{ABC}$ = $180{}^\circ$
=>A, B, C thẳng hàng .
Phương pháp 2 : Sử dụng tiên đề Ơclit
Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ 3 điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh :
AM//xy và BM//xy => A, M, B thẳng hàng [ tiên đề Ơclit ].
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc
Chẳng hạn chứng minh :
Chứng minh : + Tia OA và OB cùng là tia phân giác của $\widehat{xOy}$
+ Tia OB là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$
=>A , O , B thẳng hàng
Chứng minh H , I , K cùng thuộc đường trung trực của AB
=>H , I , K thẳng hàng
Chứng minh : +] I là trọng tâm của ∆ ABC
+] AD là trung tuyến của ∆ ABC
=>A , I , D thẳng hàng
+ ] Tương tự đối với ba đường cao , phân giác , trung trực trong tam giác.
II . Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA [ tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ] . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng .
Giải
AB = CD [ đối đỉnh ]
$\widehat{MAB}=\widehat{MCD}=90{}^\circ $
MA = MC [ M là trung điểm AC ]
=>$\Delta AMB$= $\Delta CMD$ [c.g.c]
=>$\widehat{AMB}$=$\widehat{CMD}$ [ hai góc tương ứng ]
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180{}^\circ $ [ Kề bù ]
nên $\widehat{BMC}+\widehat{CMD}=180{}^\circ $
Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các tia BM, CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Giải
BM = DM
\[\widehat{BMC}=\widehat{DMA}\] [ đối đỉnh ]
AM = CM
=>\[\Delta BMC=\Delta DMA\,\,[c.g.c]\]
=>\[\widehat{ACB}=\widehat{DAC}\] mà hai góc ở vị trí so le trong nên BC // AD [1]
Tương tự ta có : \[\Delta EAN=\Delta BNC\,\,\,[c.g.c]\] => \[\widehat{EAN}=\widehat{NBC}\]mà hai góc ở vị trí so le trong nên AE // BC [2]
Từ [1],[2] ta có : Điểm A nằm ngoài BC , theo tiên đề Ơ-clit ta có một và chỉ 1 đường thẳng song song với BC qua A => Ba điểm E, A, D song song.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC [ H \[\in \]BC]. Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng .
Hướng dẫn giải :
+] Chứng minh \[\Delta ABH=\Delta ADK\,\,[c.g.c]\]
=>AK // BC
Mà AH \[\bot \]BC nên ta có ba điểm K, A, H thẳng hàng .
III. Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng .
Bài 2 : Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng .
Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC [ H và K thuộc BC]. Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng .
Bài 8 : Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.