Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm $M[x_0;y_0]$ thuộc đường tròn. Ta dùng công thức:
– Nếu phương trình đường tròn là: $[x – a]^2+[y – b]^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:
$[x_0 – a][x- x_0] + [y_0 – b][y- y_0] = 0$ với tâm $I[a;b]$
Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I[x_0, y_0]$ cho trước ở ngoài đường tròn.
Viết phương trình của đường thẳng d qua $I[x_0, y_0]$:
$y – y_0= m[x – x_0]\Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$ [1]
Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào [1] ta được phương trình tiếp tuyến.
* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.
Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.
Phương trình của đường thẳng d có dạng:
$y = kx + m$ [m chưa biết] $\Leftrightarrow kx – y + m = 0$
Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.
Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn [C] tại điểm $M[3;4]$ biết đường tròn có phương trình là: $[x-1]^2+[y-2]^2=8$
Hướng dẫn:
Đường tròn [C] có tâm là điểm $I[1;2]$ và bán kính $R=\sqrt{8}$
Vậy phương trình tiếp tuyến với [C] tại điểm $M[3;4]$ là:
$[3-1][x-3]+[4-2][y-4]=0$
$\Leftrightarrow 2x+2y-14=0$
Tham khảo thêm bài giảng:
Bài tập 2: Cho đường tròn [C] có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$
a. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua $A[1;-3]$
b. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua $B[1;1]$
c. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$
Hướng dẫn:
Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I[2;-4]$ và bán kính $R=\sqrt{2}$
a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A[1;-3]$ có thuộc đường tròn [C] hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.
Các bạn thay tọa độ của điểm $A[1;-3]$ vào phương trình đường tròn [C] thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn [C].
Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:
$1.x-3y-2[x+1]+4[y-3]+18=0$
$\Leftrightarrow x-y-4=0$
b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn [C] thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn [C]. Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn [C] thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.
Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B[1;1]$ với hệ số góc $k$ là $\Delta$: $y=k[x-1]+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0$
Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn [C] thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính $R$.
Ta có: $d_{[I,\Delta]}=R$
$\Leftrightarrow \frac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2[k^2+1]}$
$\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$
$\Leftrightarrow k^2-10k-23=0$
$\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3}$ hoặc $k=5+4\sqrt{3}$
+. Với $ k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của [C] là: $y=[5-4\sqrt{3}]x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=[5-4\sqrt{3}]x-4+4\sqrt{3}$
+. Với $ k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của [C] là: $y=[5+4\sqrt{3}]x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=[5-4\sqrt{3}]x-4-4\sqrt{3}$
c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.
Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$
+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$
+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$
Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$
Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta$ có dạng: $y=-\frac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0$
Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên ta có:
$d_{[I,\Delta]}=R$
$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3[-4]-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$
Với $ m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$
Với $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$
Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: Viết phương trinh tiếp tuyến với đường tròn. Phương pháp giải. Cho đường tròn [C] tâm I[a; b], bán kính R. Nếu biết tiếp điểm là M [6; 36 ] thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ pháp tuyến nên có phương trình. Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng A tiếp xúc đường tròn [C] khi và chỉ khi d[I; A] = R để xác định tiếp tuyến. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường tròn [C] có phương trình và điểm hai điểm A[1; -1]; B[1; 3]. a] Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn. b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm A. c] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] kẻ từ B. Lời giải: Đường tròn [C] có tâm I[3; -1] bán kính R. Ta có: IA = 2 = R; IB = 2/5 > R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn. b] Tiếp tuyến của [C] tại điểm A nhận IA = [2; 0] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2[x – 1] + 0[y + 1] = 0 hay x = 1. b] Phương trình đường thẳng A đi qua B có dạng: Đường thẳng A là tiếp tuyến của đường tròn e d[I; A]= R. Nếu b = 0, chọn a = 1 suy ra phương trình tiếp tuyến là = 1. Nếu 36 = 4a, chọn a = 3, b = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y – 15 = 0. Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với [C] có phương trình là z = 1 và 3x + 4g – 15 = 0. Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến A của đường tròn [C]. a] Đường thẳng A vuông góc với đường thẳng A’: 2x + 3y + 4 = 0. b] Đường thẳng A hợp với trục hoành một góc 45°.
Lời giải: a] Đường tròn [C] có tâm I[2; -2], bán kính R = 3 VTPT do đó phương trình. Đường thẳng A là tiếp tuyến với đường tròn [C] khi và chỉ khi. Vậy có hai tiếp tuyến là A: –3x + 2y + 10 + 3/13 = 0. b] Giả sử phương trình đường thẳng A: a2 + bx + c = 0, a + b = 0. Đường thẳng A là tiếp tuyến với đường tròn [C] khi và chỉ khi đường thẳng A hợp với trục hoành một góc 45° suy ra. TH1: Nếu a = b thay vào [*] ta có 18a = c = 3/2a, chọn a = b = 1 = c = 3/2 suy ra A. Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là A. Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: Lời giải: Đường tròn [C] có tâm I[0; 2] bán kính R = 3. Đường tròn [C] có tâm I [3; -4] bán kính R = 3. Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình A: a + b + c = 0.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn [C] tâm I[a, b], tại điểm M[x0, y0] thuộc [C]. Ta có IM = [x0 − a; y0 − b] là véc-tơ pháp tuyến của ∆. Do đó ∆ có phương trình là [x0 − a][x − x0] + [y0 − b][y − y0] = 0. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C]: [x − 2]2 + [y + 3]2 = 5 tại điểm M[3; −1]. Lời giải. Đường tròn [C] có tâm I[2; −3]. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[3; −1] là: [3 − 2][x − 3] + [−1 + 3][y + 1] = 0 ⇔ x + 2y − 1 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[3; −1] là x + 2y − 1 = 0. Ví dụ 2. Cho đường tròn [Cm]: x2 + y2 + 2[m − 1]x − 2my − 4 = 0. Biết rằng khi m thay đổi, đường tròn [Cm] luôn đi qua điểm I cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đường tròn [Cm] tại I song song với [d]: x − 2y − 1 = 0. Lời giải. Giả sử đường tròn [Cm] luôn đi qua điểm I[x0; y0] cố định khi m thay đổi. Khi đó ta có x2 + y2 + 2[m − 1]x0 − 2my0 − 4 = 0 với mọi m ⇔ m[2×0 − 2y0] + x2 + y ⇔ x0 = y0 = −1, x0 = y0 = 2. Vậy ta có điểm I[2; 2]. Đường tròn [Cm] có tâm J[1 − m; m]. Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến của [Cm] tại I là IJ = [−m − 1; m − 2]. Để tiếp tuyến tại I song song với [d]: x − 2y − 1 = 0 thì tồn tại k sao cho: IJ = k[1; −2] ⇔ −m − 1 = k, m − 2 = −2k ⇔ m = −4, k = 3. Vậy m = −4 thỏa mãn yêu cầu đề bài. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyển của đường tròn [C]: [x + 2]2 + [y − 3]2 = 5 tại điểm M[−1; 1]. Lời giải. Đường tròn [C] có tâm I[−2; 3]. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] tại điểm M[−1; 1] là 1[x + 1] − 2[y − 1] = 0 hay x − 2y + 3 = 0. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C]: x2 + y2 − 2x = 0 tại điểm M[1; 1]. Đường tròn [C] có tâm I[1; 0]. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[1; 1] là y = 1. Bài 3. Cho đường tròn [C]: x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng [∆]: y − x + 1 = 0. Gọi M, N là giao điểm của [C] và [∆]. Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn [C] kẻ tại M, N. Tọa độ M, N là giao điểm của hệ phương trình sau y − x + 1 = 0, x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ y = x − 2y2 − 4y = 0 ⇔ x = 1; y = 0, x = 3; y = 2. Không mất tổng quát, ta giả sử M[1; 0] và N[3; 2]. Đường tròn [C] có tâm I[1; 2]. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại M là y = 0. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại N là x = 3. Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình y = 0, x = 3. Vậy tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là A[3; 0].
Bài 4. Cho hai đường tròn [C1]: x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và [C2]: x2 + y2 − 4x − 14y + 33 = 0. a] Chứng minh rằng [C1] và [C2] tiếp xúc với nhau. b] Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm. a] Đường tròn [C1] có tâm I[−1; 1] và bán kính R1 = √5. Đường tròn [C2] có tâm J[2; 7] và bán kính R2 = 2√5. Ta có IJ = [2 + 1]2 + [7 − 1]2 = 3√5 = R1 + R2. Do đó [C1] tiếp xúc ngoài với [C2]. b] Gọi M là tiếp điểm của [C1] và [C2]. Khi đó ta có IJ = 3 IM ⇒ OM = OJ + OI. Suy ra M [0; 3] ⇒ IM = [1; 2]. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại M là x + 2[y − 3] = 0 hay x + 2y − 6 = 0. Bài 5. Cho đường tròn [Cm]: x2 + y2 − [m − 2]x + 2my − 1 = 0. a] Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn [Cm] luôn đi qua điểm cố định. b] Gọi I là điểm cố định ở câu trên sao cho I có hoành độ âm. Tìm m sao cho tiếp tuyến của đường tròn [Cm] tại I song song với đường thẳng [d]: x + 2y = 0.