Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. [Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé]
Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với [1]. Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Ta có: . Thế vào phương trình [1] ta có:
.
[Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v[x]].
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: [2]
Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: [*]
Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình [*] ta sẽ có:
Hay: [2′]
Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:
Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với [2′]:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] có dạng:
Ta có: Thế vào pt [2′] ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng: [4]
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt [4] cho . Ta có:
[4′]
Khi đó, ta đặt: . Ta có:
Thế vào phương trình [4′] ta có:
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!