Các phương pháp so sánh phân số cơ bản đến nâng cao. So sánh phân số là nôi dung quan trọng ta gặp rất nhiều từ chương trình toán 5, toán 6 đến toán 7. Để giúp các em dễ dàng ôn tập cũng như giúp các thầy cô có thêm tài liệu luyện tập cho học sinh, dưới đây là các cách so sánh phân số hay dùng trong chương trình.
Khi gặp các bài toán so sánh phân số, cách đơn giản và cơ bản nhất học sinh có thể làm là quy đồng mẫu số. Với cách này, học sinh chỉ cần thành thạo các bước để quy đồng mẫu số và sau đó đánh giá hai phân số đó. Các bước thực hiện như sau:
Bước 1. Viết các phân số dưới dạng phân số có cùng mẫu dương.
Hay nói cách khác, đây là bước quy đồng phân số.
Bước 2. So sánh các tử số với nhau.
Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Cách làm này có thể phát biểu như sau: Trong hai phân số có tử và mẫu số đều dương, tử số bằng nhau thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
Khi không thể làm theo 2 cách cơ bản [tử số và mẫu số quá lớn khó quy đồng] ta có thể sử dụng 7 phương pháp sau để so sánh,
Lý thuyết so sánh hai phân số
– Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
– Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được.
Các phương pháp so sánh 2 phân số
– Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
– So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
– So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
– So sánh qua một phân số trung gian.
* Cách chọn phân số trung gian:
– Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như:
– Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
– Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
– Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau.
– Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
– Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
Bài viết cùng series:Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
Trả lời hoạt động khám phá, thực hành trang 13, 14 Toán 6 Chân trời sáng tạo tập 2. Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 15 SGK Toán 6 tập 2 Chân trời sáng tạo. Giải bài 3. So sánh phân số – Chương 5 Phân số
Do dịch bệnh Covid-19, trung bình mỗi tháng trong 3 tháng đầu năm 2019, công ti A đạt lợi nhuận \[\frac{{ – 5}}{3}\] tỉ đồng, công ti B đạt lợi nhuận \[\frac{{ – 2}}{3}\] tỉ đồng. Công ti nào đạt lợi nhuận ít hơn?
So sánh hai phân số biểu thị lợi nhuận của hai công ty và kết luận.
Do \[\frac{{ – 5}}{2} < \frac{{ – 2}}{3}\] nên công ty A đạt lợi nhuận ít hơn công ty B.
Thực hành 1
So sánh \[\frac{{ – 4}}{{ – 5}}\] và \[\frac{2}{{ – 5}}\].
So sánh hai phân số đã cho với 0 từ đó so sánh hai phân số.
Cách 1:
Ta có: \[\frac{{ – 4}}{{ – 5}} = \frac{4}{5}\] và \[\frac{2}{{ – 5}} = \frac{{ – 2}}{5}\]
Do \[4 > – 2\] nên \[\frac{4}{5} > \frac{{ – 2}}{5}\]
Cách 2:
Ta có: \[\frac{{ – 4}}{{ – 5}} = \frac{4}{5} > 0\] và \[\frac{2}{{ – 5}} < 0\]
\[ \Rightarrow \frac{{ – 4}}{{ – 5}} > \frac{2}{{ – 5}}\].
Trả lời hoạt động khám phá 2
Đưa hai phân số \[\frac{{ – 4}}{{ – 15}}\] và \[\frac{{ – 2}}{{ – 9}}\] về dạng hai phân số có mẫu dương rồi quy đồng mẫu của chúng.
– Đưa hai phân số về dạng hai phân số có mẫu dương rồi quy đồng mẫu của chúng.
– Với hai phân số có cùng một mẫu dương: Phân số nào có tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ta có:
\[\frac{{ – 4}}{{ – 15}} = \frac{4}{{15}} = \frac{{4.3}}{{15.3}} = \frac{{12}}{{45}}\]
\[\frac{{ – 2}}{{ – 9}} = \frac{2}{9} = \frac{{2.5}}{{9.5}} = \frac{{10}}{{45}}\].
Do \[\frac{{12}}{{45}} > \frac{{10}}{{45}}\] nên \[\frac{{ – 4}}{{ – 15}} > \frac{{ – 2}}{{ – 9}}\]
Thực hành 2
So sánh \[\frac{{ – 7}}{{18}}\] và \[\frac{5}{{ – 12}}\]
Để so sánh hai phân số có mẫu khác nhau, ta viết hai phân số đó ở dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh hai phân số mới nhận được.
Ta có:
\[\frac{{ – 7}}{{18}} = \frac{{ – 7.2}}{{18.2}} = \frac{{ – 14}}{{36}}\]
\[\frac{5}{{ – 12}} = \frac{{ – 5}}{{12}} = \frac{{ – 5.3}}{{12.3}} = \frac{{ – 15}}{{36}}\]
Vì \[\frac{{ – 14}}{{36}} > \frac{{ – 15}}{{36}}\] nên \[\frac{{ – 7}}{{18}} > \frac{5}{{ – 12}}\].
Thực hành 3
Viết số nguyên dưới dạng phân số rồi so sánh.
a] \[\frac{{31}}{{15}}\] và 2; b] \[ – 3\] và \[\frac{7}{{ – 2}}\]
Viết số nguyên dưới dạng phân số rồi quy đồng mẫu số hai phân số và so sánh.
a] Ta có: \[2 = \frac{2}{1} = \frac{{2.15}}{{1.15}} = \frac{{30}}{{15}} < \frac{{31}}{{15}}\].
Suy ra \[\frac{{31}}{{15}} > 2\].
b] Ta có: \[ – 3 = \frac{{ – 3}}{1} = \frac{{ – 3.2}}{{1.2}} = \frac{{ – 6}}{2}\]
và \[\frac{7}{{ – 2}} = \frac{{ – 7}}{2}\]
Do \[\frac{{ – 6}}{2} > \frac{{ – 7}}{2}\] nên \[ – 3 > \frac{7}{{ – 2}}\].
Dó \[\frac{{ – 6}}{2} > \frac{{ – 7}}{2}\]
Hoạt động khám phá 3
Thực hiện quy đồng mẫu số ba phân số \[\frac{{ – 2}}{5};\frac{{ – 3}}{8};\frac{3}{{ – 4}}\] rồi sắp xếp các phân số đó theo thứ tự tăng dần.
Đưa các phân số về mẫu dương rồi quy đồng, so sánh và sắp xếp.
Ta có:
\[\frac{{ – 2}}{5} = \frac{{ – 2.8}}{{5.8}} = \frac{{ – 16}}{{40}}\]
\[\frac{{ – 3}}{8} = \frac{{ – 3.5}}{{8.5}} = \frac{{ – 15}}{{40}}\]
\[\frac{3}{{ – 4}} = \frac{{ – 3}}{4} = \frac{{ – 3.10}}{{4.10}} = \frac{{ – 30}}{{40}}\]
Do \[\frac{{ – 30}}{{40}} < \frac{{ – 16}}{{40}} < \frac{{ – 15}}{{40}}\] nên \[\frac{3}{{ – 4}} < \frac{{ – 2}}{5} < \frac{{ – 3}}{8}\].
Thực hành 4
So sánh:
a] \[\frac{{ – 21}}{{10}}\] và 0;
b] \[0\]và \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}}\]
c] \[\frac{{ – 21}}{{10}}\] và \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}}\].
Các số âm luôn nhỏ hơn 0, các số dương luôn lớn hơn 0.
a] \[\frac{{ – 21}}{{10}}\] < 0
b] \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}} = \frac{5}{2} > 0\]. Vậy \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}} > 0\].
c] \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}} = \frac{5}{2} > 0\] mà \[\frac{{ – 21}}{{10}} < 0\]
Vậy \[\frac{{ – 5}}{{ – 2}} > \frac{{ – 21}}{{10}}\].
Câu hỏi vận dụng trang 14 SGK Toán 6 Chân trời sáng tạo
Bạn Nam rất thích ăn sô cô la. Mẹ Nam có một thanh sô cô la, mẹ cho Nam chọn \[\frac{1}{2}\] hoặc \[\frac{2}{3}\] thanh sô cô la đó Theo em bạn Nam sẽ chọn phần nào?
So sánh hai phần từ đó suy ra phần bạn Nam sẽ chọn.
Ta có: \[\frac{1}{2} = \frac{{1.3}}{{2.3}} = \frac{3}{6}\]
\[\frac{2}{3} = \frac{{2.2}}{{3.2}} = \frac{4}{6}\]
Do \[\frac{3}{6} < \frac{4}{6}\] nên \[\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\].
Vậy bạn Nam sẽ chọn phần \[\frac{2}{3}\] thanh Sô cô la.
Giải bài 1 trang 15 Toán 6 tập 2 Chân trời sáng tạo
So sánh hai phân số.
a] \[\frac{{ – 3}}{8}\] và \[\frac{{ – 5}}{{24}}\] b] \[\frac{{ – 2}}{{ – 5}}\] và \[\frac{3}{{ – 5}}\]
c] \[\frac{{ – 3}}{{ – 10}}\] và \[\frac{{ – 7}}{{20}}\] c] \[\frac{{ – 5}}{4}\] và \[\frac{{23}}{{ – 20}}\].
– Đưa các phân số về mẫu dương rồi quy đồng mẫu số các phân số hoặc so sánh với 0.
a] \[\frac{{ – 3}}{8} = \frac{{ – 3.3}}{{8.3}} = \frac{{ – 9}}{{24}} < \frac{{ – 5}}{{24}}\]
Vậy \[\frac{{ – 3}}{8} < \frac{{ – 5}}{{24}}\].
b] \[\frac{{ – 2}}{{ – 5}} = \frac{2}{5} > 0\] mà \[\frac{3}{{ – 5}} < 0\]
=> \[\frac{{ – 2}}{{ – 5}} > \frac{3}{{ – 5}}\].
c] \[\frac{{ – 3}}{{ – 10}} = \frac{3}{{10}} = \frac{{3.2}}{{10.2}} = \frac{6}{{20}}\]
\[\frac{{ – 7}}{{ – 20}} = \frac{7}{{20}}\]
Vì \[\frac{6}{{20}} < \frac{7}{{20}}\] nên \[\frac{{ – 3}}{{ – 10}} < \frac{{ – 7}}{{ – 20}}\].
d] \[\frac{{ – 5}}{4} = \frac{{ – 5.5}}{{4.5}} = \frac{{ – 25}}{{20}} < \frac{{ – 23}}{{20}}\]
Vậy \[\frac{{ – 5}}{4} < \frac{{23}}{{ – 20}}\].
Bài 2 trang 15 SGK Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo tập 2
Căn cứ vào chiều cao trung bình của học sinh, người ta đưa ra chuẩn chiều cao bàn, ghế học sinh như sau:
Chiều cao ghế bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,27.
Chiều cao bàn bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,46.
Em hãy tính xem, với một học sinh cao 1,5 m như trong hình thì chiều cao ghế và chiều cao bàn là bao nhiêu thì thích hợp. Ghi kết quả dưới dạng phân số.
Chiều cao ghế bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,27.
Chiều cao bàn bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,46.
Chiều cao ghế là: \[1,5.0,27 = \frac{{15}}{{10}}.\frac{{27}}{{100}} = \frac{{81}}{{200}}\] [m]
Chiều cao bàn là: \[1,5.0,46 = \frac{{15}}{{10}}.\frac{{46}}{{100}} = \frac{{69}}{{100}}\] [m].
Bài 3 trang 15 Toán 6 tập 2 Chân trời sáng tạo
a] So sánh \[\frac{{ – 11}}{5}\] với \[\frac{{ – 7}}{4}\] bằng cách viết –2 ở dạng phân số có mẫu số thích hợp.
Từ đó suy ra kết quả so sánh \[\frac{{ – 11}}{5}\] với \[\frac{{ – 7}}{4}\].
b] So sánh \[\frac{{2020}}{{ – 2021}}\] với \[\frac{{ – 2022}}{{2021}}\].
a] Nếu có \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] và \[\frac{c}{d} < \frac{m}{n}\] thì có \[\frac{a}{b} < \frac{m}{n}\].
b] Đưa hai phân số đã cho về mẫu dương.
a] Ta có: \[ – 2 = \frac{{ – 2}}{1} = \frac{{ – 40}}{{20}}\]
\[\frac{{ – 11}}{5} = \frac{{ – 44}}{{20}} < \frac{{ – 40}}{{20}}\] nên \[\frac{{ – 11}}{5} < 2\].
\[\frac{{ – 7}}{4} = \frac{{ – 7.5}}{{4.5}} = \frac{{ – 35}}{{20}} > \frac{{ – 40}}{{20}}\] nên \[\frac{{ – 7}}{4} > 2\]
Vậy \[\frac{{ – 11}}{5} < \frac{{ – 7}}{4}\].
b] Ta có: \[\frac{{2020}}{{ – 2021}} = \frac{{ – 2020}}{{2021}} > \frac{{ – 2022}}{{2021}}\]
Nên \[\frac{{2020}}{{ – 2021}} > \frac{{ – 2022}}{{2021}}\]
Bài 4 trang 15 Toán 6 tập 2 Chân trời sáng tạo
Sắp xếp các số \[2;\,\frac{5}{{ – 6}};\, – 1;\,\frac{{ – 2}}{5};\,0\] theo thứ tự tăng dần.
Quy đồng mẫu số và so sánh các số âm từ đó sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần.
Ta có: \[\frac{5}{{ – 6}} = \frac{{ – 5}}{6} = \frac{{ – 5.5}}{{6.5}} = \frac{{ – 25}}{{30}}\]
\[\frac{{ – 2}}{5} = \frac{{ – 2.6}}{{5.6}} = \frac{{ – 12}}{{30}}\]
\[ – 1 = \frac{{ – 30}}{{30}}\]
Do \[\frac{{ – 30}}{{30}} < \frac{{ – 25}}{{30}} < \frac{{ – 12}}{{30}}\] nên \[ – 1 < \frac{5}{{ – 6}} < \frac{{ – 2}}{5}\]
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
\[ – 1;\,\frac{5}{{ – 6}};\frac{{ – 2}}{5};\,0;\,2\].