Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông – Chương 1: Giải bài 1,2 trang 68; bài 2,3 trang 69 SGK Toán 9 tập 1. Nếu ∆ABC vuông tại A [hình bên] thì:
b2=ab’; c2=ac’ [1]
h2=b’c’ [2]
bc = ah [3]
a2= b2+ c2 [5].
Hướng dẫn giải bài tập Toán 9 tập 1 trang 68,69 – Hình học.
Bài 1.Hãy tính x và y trong mỗi hình sau [hình 4a, b]:
a] Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình sau:
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 +AC2 = 62 + 82 =100
=> BC = 10
Áp dụng hệ thức c2=ac’ ta có hệ thức AB2 = BC . BH
Vậy x=3,6 và y=10-3,6=6,4
[Bạn áp dụng định lý Pytago cho tam giác lớn ở ngoài ý. x+y là cạnh-huyền. Bình phương cạnh-huyền bằng tổng bình phương hai cạnh-góc vuông. [x+y]^2 = 6^2 + 8^2=100. Suy ra cạnh-huyền bằng 10 cm. Áp dụng định lý 2 là bình phương cạnh-góc-vuông bằng tích hình chiếu tương ứng của nó với cạnh-huyền]
b] Áp dụng hệ thức c2=ac’ tìm x=7,2 suy ra y=12,8.
Bài 2. Hãy tính x và y trong hình dưới đây [H.5]:
Áp dụng hệ thức c2 =ac’
Đáp số: x = √5, y=√20.
Bài 3. Hãy tính x và y trong hình sau [h.6]
Tính cạnh huyền được: y = √74
Dùng hệ thức:
[dựa theo định lí AB.AC = AH.BC [định lí 3]
Bài 4. Hãy tính x và y trong hình sau:
Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên
Áp dụng hện thức h² = b’c’ ta có:
Do đó x = 4
Áp dụng hệ thức b² = ab’ ta có :
AC² = BC . HC => y² = 5.4 = 20 => y = √20
Nhận xét: Ta có thể tính y theo định lý Pi-ta-go:
y² = 2² + 4² = 20 => y = √20
- Bài tập SGK lớp 9
- Bài tập SGK Toán 9
Hãy tính x và y trong mỗi hình sau. Bài 1 trang 68 sgk Toán 9 – tập 1 – Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Bài 1. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau [hình 4a, b]:
Hướng dẫn giải:
a] Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\]
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
\[AB^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6\]
\[HC=BC=BH=10-3,6=6,4\]
Quảng cáoHay: x = 3,6; y = 6,4
b] Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới
Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
\[AB^2=BH.BC=20.x\Rightarrow x=\frac{AB^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2\]
\[HC=BC-BH=20-7,2=12,8\]
Hay x = 7,2; y = 12,8
Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 1
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 2
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 9
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 2
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 2
Sách giải toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 66: Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức [2].
Lời giải
Xét ΔABH và ΔCAH có:
∠[AHB] = ∠[AHC] = 90o
∠[BAH] = ∠[ACH] [cùng phụ ∠[CAH]]
⇒ ΔABH ∼ ΔCAH [g.g]
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 67: Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức [3] bằng tam giác đồng dạng.
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có
SABC = 1/2 AB.AC
Xét tam giác ABC có AH là đường cao
⇒ SABC = 1/2 AH.BC
⇒ 1/2 AB.AC = 1/2 AH.BC ⇒ AB.AC = AH.BC hay bc = ah
Bài 1 [trang 68 SGK Toán 9 Tập 1]: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: [h.4a, b]
Hình 4
Lời giải:
– Hình a
Theo định lí Pitago ta có:
Áp dụng định lí 1 ta có:
– Hình b
Áp dụng định lí 1 ta có:
=> y = 20 – 7,2 = 12,8
Bài 2 [trang 68 SGK Toán 9 Tập 1]: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: [h.5]
Hình 5
Lời giải:
Áp dụng định lí 1 ta có:
Bài 3 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: [h.6]
Hình 6
Lời giải:
Áp dụng định lí Pitago ta có:
Áp dụng định lí 3 ta có:
Bài 4 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: [h.7]
Hình 7
Lời giải:
Theo định lí 2 ta có:
22 = 1.x => x = 4
Theo định lí 1 ta có:
y2 = x[1 + x] = 4[1 + 4] = 20
=> y = √20 = 2√5
Bài 5 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]: Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Lời giải:
ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.
Theo định lí Pitago ta có:
Mặt khác, AB2 = BH.BC [định lí 1]
Theo định lí 3 ta có: AH.BC = AB.AC
Bài 6 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Lời giải:
ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.
BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
Theo định lí 1: AB2 = BH.BC = 1.3 = 3
=> AB = √3
Theo định lí 1: AC2 = HC.BC = 2.3 = 6
=> AC = √6
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.
Bài 7 [trang 69-70 SGK Toán 9 Tập 1]: Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b [tức là x2 = ab] như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức [1] và [2], hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Lời giải:
– Cách 1: [h.8]
Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại D.
Vì vậy AH2 = BH.CH hay x2 = ab
Đây chính là hệ thức [2] hay cách vẽ trên là đúng.
– Cách 2: [h.9]
Theo cách dựng, ΔDEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ΔDEF vuông tại D.
Vậy DE2 = EI.EF hay x2 = a.b
Đây chính là hệ thức [1] hay cách vẽ trên là đúng.
Bài 8 [trang 70 SGK Toán 9 Tập 1]: Tìm x và y trong mỗi hình sau:
Lời giải:
a] Theo định lí 2 ta có:
x2 = 4.9 = 36 => x = 6
b] Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.
Theo định lí Pitago ta có:
Bài 9 [trang 70 SGK Toán 9 Tập 1]: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a] Tam giác DIL là một tam giác cân
b] Tổng
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Lời giải:
a] Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:
AD = CD [cạnh hình vuông]
Nên ΔADI = ΔCDL [cạnh góc cuông và góc nhọn]
Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. [đpcm]
b] Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. [đpcm]