Tóm tắt lý thuyết và giải bài tậpToán lớp 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Tóm tắt lý thuyết và giải bài tậpToán lớp 8: Phân tích đa thức thành
nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
1. Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận
dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hạng tử và phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra
ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết
B. Giải bài tập sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 trang 24, 25
Bài 1. [SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1]
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] x3 – 2x2 + x; b] 2x2 + 4x + 2 – 2y2;
Đáp án và hướng dẫn giải bài
a] x3 – 2x2 + x = x[x2 – 2x + 1] = x[x – 1]2
b] 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2[x2 + 2x + 1] – 2y2
= 2[x + 1 – y][x + 1 + y]
c] 2xy – x2 – y2 + 16 = 16 – [x2 – 2xy + y2] = 16 – [x – y]2 =42 – [x – y]2
Bài 2. [SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1]
Chứng minh rằng [5n + 2]2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Đáp án và hướng dẫn giải bài
Ta có : [5n + 2]2 – 4 = [5n + 2]2 – 22
= [5n + 2 – 2][5n + 2 + 2]
Vì 5 chia hết 5 nên 5n[5n + 4] chia hết 5 n Z.
Bài 3. [SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1]
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
[Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách
hạng tử -3x = – x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích
Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng
Đáp án và hướng dẫn giải bài
a] x2 – 3x + 2 = a] x2 – x – 2x + 2 = x[x – 1] – 2[x – 1] = [x – 1][x – 2]
Hoặc x2 – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6
= [x – 2][x + 2] – 3[x -2]
= [x – 2][x + 2 – 3] = [x – 2][x – 1]
b] x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6
c] x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
Bài 4 [SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1]
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b] 2x – 2y – x2 + 2xy – y2;
Đáp án và hướng dẫn giải bài
a] x3 + 2x2y + xy2– 9x = x[x2 +2xy + y2 – 9]
= x[x + y – 3][x + y + 3]
b] 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = [2x – 2y] – [x2 – 2xy + y2]
c] x4 – 2x2 = x2[x2 – [√2]2] = x2[x – √2][x + √2].
Bài 5 [SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1]
b] [2x – 1]2 – [x + 3]2 = 0;
c] x2[x – 3] + 12 – 4x = 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài
a] x3 – 1/4x = 0 => x[x2 – [1/2]2] = 0
Hoặc x -1/2= 0 x = 1/2Hoặc x + 1/2= 0 x = – 1/2
Vậy x = 0; x = – 1/2; x = 1/2.
b] [2x – 1]2 – [x + 3]2 = 0
[[2x – 1] – [x + 3]][[2x – 1] + [x + 3]] = 0
[2x – 1 – x – 3][2x – 1 + x + 3] = 0
Hoặc 3x + 2 = 0 3x = 2 => x = -2/3
c] x2[x – 3] + 12 – 4x = 0
[x – 3][x – 2][x + 2] = 0
Vậy x = 3; x = 2; x = -2.
Bài 6 [SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1]
Tính nhanh giá trị của đa thức:
a] x2 + 1/2x + 1/16 tại x = 49,75;
b] x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
Đáp án và hướng dẫn giải bài
a] x2 + 1/2x+ 1/16 tại x = 49,75
Ta có: x2 + 1/2x + 1/16 = x2 + 2.1/4x + [1/4]2
Với x = 49,75: [49,75 +1/4]2
= [49,75 + 0,25]2 = 502 = 2500
b] x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6
Ta có: x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – [y2 + 2y + 1]
= x2 – [y + 1]2 = [x – y – 1][x + y + 1]
Với x = 93, y = 6: [93 – 6 – 1][93 + 6 + 1] = 86 . 100 = 8600
Bài 7 [SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1]
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] x2 – 4x + 3; b] x2 + 5x + 4
[Gợi ý câu d]: Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho.
a] x2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3
= x[x – 1] – 3[x – 1] = [x -1][x – 3]
b] x2 + 5x + 4 = x2 + 4x + x + 4
c] x2 – x – 6 = x2 +2x – 3x – 6
d] x4+ 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= [x2 + 2 – 2x][x2 + 2 + 2x]
Bài 8 [SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1]
Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Ta có: n3– n = n[n2 – 1] = n[n – 1][n + 1]
Với n Z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là
hai số nguyên tố cùng nhau nên n3 – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.