VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Lập phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Lập phương trình đường tròn: Lập phương trình đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Tìm toạ độ tâm I [a; b] của đường tròn [C]. Tìm bán kính R của đường tròn [C]. Viết phương trình của [C] theo dạng [x − a]2 + [y − b]2 = R2. Cách 2. Giả sử phương trình đường tròn [C] là: x2 + y2 −2ax − 2by + c = 0 [hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0]. Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn [C]. Chú ý: Cho đường tròn [C] có tâm I và bán kính R. A ∈ [C] ⇔ IA = R. [C] tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d [I; ∆] = R. [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d [I; ∆1] = d [I; ∆2] = R. [C] cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ [d [I; ∆3]]2 + a2 = R2. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I[3; −5] bán kính R = 2. Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là [x − 3]2 + [y + 5]2 = 22 ⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0. Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A [1; 6], B [−3; 2]. Đường tròn đường kính AB có: Tâm I [−1; 4] là trung điểm AB. Bán kính R = AB = 2√2. Do đó phương trình đường tròn là: [x + 1]2 + [y − 4]2 = 2√2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 8y + 9 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm I [−1; 2] và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + 7 = 0. Bán kính đường tròn [C] chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên R = d [I; ∆] = |−1 − 4 − 7| √1 + 4 = 2√5. Vậy phương trình đường tròn [C] là: [x + 1]2 + [y − 2]2 = 4. Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn tâm I [−2; 1], cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2. Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có: h = d [I, ∆] = |−2 − 2 + 3|. Gọi R là bán kính đường tròn. Vậy phương trình đường tròn là: [x + 2]2 + [y − 1]2 = 6. Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M [−2; 4], N [5; 5], P [6; −2]. Lời giải. Cách 1. Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = 0, 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0, 36 + 4 − 12a + 4b + c = 0 ⇔ a = 2, b = 1, c = −20. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0. Cách 2. Gọi I [x; y] và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra: IM = IN = IP ⇔ IM2 = IN2, IM2 = IP2 nên ta có hệ [x + 2]2 + [y − 4]2 = [x − 5]2 + [y − 5]2, [x + 2]2 + [y − 4]2 = [x − 6]2 + [y + 2]2 ⇔ x = 2, y = 1. Suy ra I[2; 1], bán kính IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm [C] : [x − 2]2 + [y − 1]2 = 25. Ví dụ 6. Cho hai điểm A [8; 0] và B [0; 6]. a] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b] Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Lời giải. a] Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I [4; 3] và bán kính R = IA = p [8 − 4]2 + [0 − 3]2 = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: [x − 4]2 + [y − 3]2 = 25. b] Ta có OA = 8; OB = 6; AB = √2 + 62 = 10. Mặt khác OA.OB = pr[vì cùng bằng diện tích tam giác ABC]. Suy ra r = OA.OB OA + OB + AB = 2. Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là [2; 2]. Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là [x − 2]2 + [y − 2]2 = 4. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A [1; 2], B [4; 1]. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B. Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của [C]. Do I ∈ d nên I [t; 2t − 5]. Hai điểm A, B cùng thuộc [C] nên IA = IB ⇔ [1 − t]2 + [7 − 2t]2 = [4 − t]2 + [6 − 2t]2 ⇔ t = 1. Suy ra I[1; −3] và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: [C]: [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Cách 2. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB = [3; −1] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x − y − 6 = 0. Tọa độ tâm I của [C] là nghiệm của hệ 2x − y − 5 = 0, 3x − y − 6 = 0 ⇒ I[1; −3]. Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm [C] : [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A [−2; 1]. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2. Gọi I là tâm của [C]. Do I ∈ d1 nên I [−3t − 8; t]. Theo giả thiết bài toán, ta có: d [I, d2] = IA ⇔ |3 [−3t − 8] − 4t + 10| √2 + 42 = [−3t − 8 + 2]2 + [t − 1]2 ⇔ t = −3. Suy ra I[1; −3] và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là [C]: [x − 1]2 + [y + 3]2 = 25. Ví dụ 9. Viết phương trình đường tròn [C] có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0. Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K [6a + 10; a] Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra |3[6a + 10] + 4a + 5| = |4[6a + 10] − 3a − 5| ⇔ |22a + 35| = |21a + 35| ⇔ a = 0, a = −70. Với a = 0 thì K [10; 0] và R = 7 suy ra [C]: [x − 10]2 + y2 = 49. Với a = −70 thì K và R. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là [C]: [x − 10]2 + y2 = 49. Ví dụ 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x − y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2√3. Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I [a; a + 1]. a = 1, a = −9. Với a = 1 ta có I [1; 2], phương trình đường tròn là: [x − 1]2 + [y − 2]2 = 4. Với a = −9 ta có I [−9; −8], phương trình đường tròn là: [x + 9]2 + [y + 8]2 = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A [−1; 3], B [1; 4], C [3; 2]. Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A [−1; 1], B [3; 3] và đường thẳng d: 3x − 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d. Đường trung trực ∆ đi qua M [1; 2] là trung điểm AB và nhận AB = [4; 2] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 2x + y − 4 = 0. Do [C] đi qua hai điểm A, B nên tâm I của [C] thuộc trung trực ∆ nên I [t; 4 − 2t]. Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0 và ∆: x + 3y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] có bán kính bằng 2√10, có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0. và d2: √3x − y = 0. Gọi [C] là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của [C], biết tam giác ABC có diện tích bằng √3 và điểm A có hoành độ dương.Bài 6. Cho ba đường thẳng d1: x−y + 1 = 0, d2: 3x−4y = 0, d3: 4x−3y −3 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2 tại hai điểm A, B và cắt đường thẳng d3 tại hai điểm C, D sao cho AB = CD = 2√3.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M [x0; y0] thuộc ∆ và một véc-tơ pháp tuyến n = [A; B]. Vậy phương trình đường thẳng ∆: A [x − x0] + B [y − y0] = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: Ax + By = C với C = − [Ax0 + By0]. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm M[−1; 5] và có véc-tơ pháp tuyến n = [−2; 3]. Lời giải. Phương trình đường thẳng ∆: −2[x + 1] + 3[y − 5] = 0 ⇔ −2x + 3y − 17 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: −2x + 3y − 17 = 0. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm N[2; 3] và vuông góc với đường thẳng AB với A[1; 3], B[2; 1]. Lời giải. Ta có: AB = [1; −2]. Đường thẳng ∆ qua N[2; 3] và nhận AB = [1; −2] làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng ∆: [x − 2] − 2[y − 3] = 0 ⇔ x − 2y + 4 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : x − 2y + 4 = 0. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A[−1; 2] và vuông góc với đường thẳng M: 2x − y + 4 = 0. Cách 1: Phương trình đường thẳng d có dạng: x + 2y + C = 0. Vì d đi qua A[−1; 2] nên ta có phương trình: −1 + 2.2 + C = 0 ⇔ C = −3. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng của đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0. Cách 2: Đường thẳng M có một véc-tơ chỉ phương u = [1; 2]. Vì d vuông góc với M nên d nhận u = [1; 2] làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng d: [x + 1] + 2[y − 2] = 0 ⇔ x + 2y − 3 = 0. Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: x = −2t, y = 1 + t và ∆: x = −2 − t, y = t. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đối xứng với ∆ qua ∆. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: x = 1 + 2t, y = −3 − t. a] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆. b] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N [4; 2] và vuông góc với ∆. a] Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u = [2; −1] nên có véc-tơ pháp tuyến là n = [1; 2]. Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A [1; −3] nằm trên ∆. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 1.[x − 1] + 2. [y − [−3]] = 0 ⇔ x + 2y − 5 = 0 b] Đường thẳng l vuông góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến là nl = [2; −1]. Phương trình tổng quát của đường thẳng l là: 2 [x − 4] − 1 [y − 2] = 0 ⇔ 2x − y − 6 = 0 Bài 2. Trong mặt phảng Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc bằng −3 và A [1; 2] nằm trên d. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d. Lời giải. Đường thẳng dcó hệ số góc bằng −3 nên có vec-tơ pháp tuyến là [3; 1]. Đường thẳng d đi qua điểm A [1; 2] và có vec-tơ pháp tuyến là [3; 1] nên có phương trình tổng quát là: 3 [x − 1] + 1 [y − 2] = 0 ⇔ 3x + y − 5 = 0 Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A [2; −5] và nó tạo với trục Ox một góc 60◦. Lời giải. Hệ số góc của đường thẳng d là k = tan 60◦ = √3. Phương trình đường thẳng d là: y = √3 [x − 2] − 5 ⇔ √3x − 3y − 15 − 2√3 = 0. Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: y = 2x + 1, viết phương trình đường thẳng d0 đi qua điểm B là điểm đối xứng của điểm A [0; −5] qua đường thẳng d và song song với đường thẳng y = −3x + 2. Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên ta có: kAB.2 = −1 ⇔ kAB = − 1. Phương trình đường thẳng AB là: y = − 1[x − 0] − 5 ⇔ y = − 1x − 5. Vì A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d nên trung điểm N của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳng d và AB. Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình: y = 2x + 1, y = − x − 5 ⇔ y = −3x − 17.
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − 3y + 1 = 0 và điểm A [−1; 3]. Viết phương trình đường thẳng d0 đi qua A và cách điểm B [2; 5] khoảng cách bằng 3. Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M [2; 5] và cách đều A [−1; 2] và B [5; 4]. Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là ax + by + c = 0 [a2 + b2 khác −1] [1]. Do M [2; 5] ∈ d nên ta có: 2a + 5b + c = 0 ⇔ c = −2a − 5b. Thay c = −2a − 5b vào [1] ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2a − 5b = 0 [2]. Vì d cách đều hai điểm A và B. Trường hợp 1: Với b = 0 thay vào [2] ta được phương trình đường thẳng d là: ax + 0y − 2a − 5.0 = 0 ⇔ ax − 2a = 0 ⇔ x − 2 = 0. Trường hợp 2: Với b = −3a ta chọn a = 1, b = −3 thay vào [2] ta được phương trình đường thẳng d là: 1x − 3y − 2 − 5.[−3] = 0 ⇔ x − 3y + 13 = 0.