- LG a
- LG b
Cho tổng \[{S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left[ {4n - 3} \right]\left[ {4n + 1} \right]}}.\]
LG a
Tính \[{S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\]
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \[n=1,2,3,4\] tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\]
\[{S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\]
\[{S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\]
\[{S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\]
Vậy \[{S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\]
LG b
Dự đoán công thức tính \[{S_n}\] và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \[n=1,2,3,4\] tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Viết lại \[S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\] \[{S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\] \[{S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\]
Ta có thể dự đoán \[{S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\]
Chứng minh:
Với \[n = 1\] thì \[{S_1} = \dfrac{1}{5}\] đúng.
Giả sử \[{S_n}\] đúng với \[n = k\], nghĩa là \[{S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\].
Ta cần chứng minh \[{S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left[ {k + 1} \right] + 1}}\]
Thật vậy, \[{S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left[ {4k - 3} \right]\left[ {4k + 1} \right]}}\] \[ + \dfrac{1}{{\left[ {4\left[ {k + 1} \right] - 3} \right].\left[ {4\left[ {k + 1} \right] + 1} \right]}}\]
\[ = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left[ {4k + 1} \right]\left[ {4k + 5} \right]}}\] \[ = \dfrac{{k\left[ {4k + 5} \right] + 1}}{{\left[ {4k + 1} \right]\left[ {4k + 5} \right]}}\] \[ = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left[ {4k + 1} \right]\left[ {4k + 5} \right]}}\]
\[ = \dfrac{{\left[ {4k + 5} \right]\left[ {k + 1} \right]}}{{\left[ {4k + 1} \right]\left[ {4k + 5} \right]}}\] \[ = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left[ {k + 1} \right] + 1}}\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.