Bài 43 trang 214 sgk toán 10 nâng cao

Đáp án

1. Ta có:

\[\eqalign{ & \cos {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}[\cos {90^0} + \cos {60^0}] = {1 \over 4} \cr & \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}[cos{60^0} - \cos {90^0}] = {1 \over 4} \cr} \]

Vậy \[\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\]

1. Ta có:

\[\eqalign{ & \cos {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}[\sin {90^0} - \sin {60^0}] \cr & = {1 \over 2}[1 - {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]

1. Ta có:

\[\eqalign{ & \sin {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}[\sin {90^0} + \sin {60^0}] \cr & = {1 \over 2}[1 + {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]

1. Ta có:

\[\eqalign{ & \cos \alpha \sin [\beta - \gamma ]\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{]]}} \cr & \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin [\beta + \gamma - \alpha {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\beta - \gamma + \alpha ]{\rm{]}} \cr & \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{]]}} \cr} \]

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

\[\cos \alpha \sin [\beta - \gamma ] + \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \]

\[+ \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \]

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:. Bài 43 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao – Bài 4: Một số công thức lượng giác Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh: a] [cos {75^0}cos {15^0} = sin {75^0}sin {15^0} = {1 over 4}] b] [cos {75^0}sin {15^0} = {{2 – sqrt 3 } ...

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:. Bài 43 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao – Bài 4: Một số công thức lượng giác

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

1. [cos {75^0}cos {15^0} = sin {75^0}sin {15^0} = {1 over 4}]

1. [cos {75^0}sin {15^0} = {{2 – sqrt 3 } over 4}]

1. [sin {75^0}cos {15^0} = {{2 + sqrt 3 } over 4}]

1. [cos alpha sin [eta – gamma ] + cos eta sin [gamma – alpha ] ]

[+ cos gamma sin [alpha – eta ] = 0,,,,,forall alpha ,eta ,gamma ]

Đáp án

1. Ta có:

[eqalign{ & cos {75^0}cos {15^0} = {1 over 2}[cos {90^0} + cos {60^0}] = {1 over 4} cr & sin {75^0}sin {15^0} = {1 over 2}[cos{60^0} – cos {90^0}] = {1 over 4} cr} ]

Vậy [cos {75^0}cos {15^0} = sin {75^0}sin {15^0} = {1 over 4}]

1. Ta có:

[eqalign{ & cos {75^0}sin {15^0} = {1 over 2}[sin {90^0} – sin {60^0}] cr & = {1 over 2}[1 – {{sqrt 3 } over 2}] = {{2 – sqrt 3 } over 4} cr} ]

1. Ta có:

[eqalign{ & sin {75^0}cos {15^0} = {1 over 2}[sin {90^0} + sin {60^0}] cr & = {1 over 2}[1 + {{sqrt 3 } over 2}] = {{2 + sqrt 3 } over 4} cr} ]

1. Ta có:

[eqalign{ & cos alpha sin [eta – gamma ]cr& = {1 over 2}{ m{[sin[}}alpha { m{ + }}eta – gamma { m{]}},{ m{ – }},{ m{sin[}}alpha { m{ – }}eta { m{ + }}gamma { m{]]}} cr & cos eta sin [gamma – alpha ] cr&= {1 over 2}{ m{[}}sin [eta + gamma – alpha { m{]}},{ m{ – }},{ m{sin[}}eta – gamma + alpha ]{ m{]}} cr & cos gamma sin [alpha – eta ] cr&= {1 over 2}{ m{[sin[}}gamma { m{ + }}alpha { m{ – }}eta { m{]}},{ m{ – }},{ m{sin[}}gamma { m{ – }}alpha { m{ + }}eta { m{]]}} cr} ]

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

[cos alpha sin [eta – gamma ] + cos eta sin [gamma – alpha ] ]

[+ cos gamma sin [alpha – eta ] = 0,,,,,forall alpha ,eta ,gamma ]

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

LG a

\[\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[\eqalign{ & \cos {75^0}\cos {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] + \cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\cos {90^0} + \cos {60^0}]\cr &= \frac{1}{2}\left[ {0 + \frac{1}{2}} \right] = {1 \over 4} \cr & \sin {75^0}\sin {15^0} \cr &= - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] - \cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[cos{60^0} - \cos {90^0}] \cr & = \frac{1}{2}\left[ { \frac{1}{2}}-0 \right]= {1 \over 4} \cr} \]

Vậy \[\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\]

LG b

\[\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[\eqalign{ & \cos {75^0}\sin {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {{{15}^0} + {{75}^0}} \right] + \sin \left[ {{{15}^0} - {{75}^0}} \right]} \right] \cr &= \frac{1}{2}\left[ {\sin {{90}^0} + \sin \left[ { - {{60}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\sin {90^0} - \sin {60^0}] \cr & = {1 \over 2}[1 - {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]

LG c

\[\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[\eqalign{ & \sin {75^0}\cos {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] + \sin \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\sin {90^0} + \sin {60^0}] \cr & = {1 \over 2}[1 + {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]

LG d

\[\cos \alpha \sin [\beta - \gamma ] + \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \]

\[+ \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[\eqalign{ & \cos \alpha \sin [\beta - \gamma ]\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{]]}} \cr & \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin [\beta + \gamma - \alpha {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\beta - \gamma + \alpha ]{\rm{]}} \cr & \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{]]}} \cr} \]

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

\[\cos \alpha \sin [\beta - \gamma ] + \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \]

\[+ \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \]

dapandethi.vn