Bài tập Toán dành cho Kinh tế và Quản trị UEH

Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế1 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế2 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếLỜI NĨI ĐẦUSách “Bài tập Tốn Cao Cấp dành cho khối ngànhThương Mại, Kinh tế” sẽ cung cấp một nền tảng Toán học chosinh viên của khối ngành thương mại – kinh tế – quản trị – tàichính, nhằm phục vụ cho các môn chuyên ngành. Cuốn sáchnày giúp các sinh viên biết cách vận dụng kiến thức đã học đểgiải các bài tập, giúp các sinh viên nắm vững hơn một số kiếnthức về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, hàm mộtbiến, hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân và cácứng dụng của đạo hàm trong kinh tế và đời sống,…Mơn Tốn giúp người học có những cơng cụ để tính tốn.Từ các kết quả tính tốn, người học sẽ phân tích, tổng hợp, kếtluận và đưa ra quyết định. Ngoài ra, mơn Tốn cịn giúp ngườihọc có một khả năng tư duy tốt, biết cách lý luận chặt chẽ, cónhững phương pháp quan sát tồn diện và tinh tế. Năng lựcTốn học là một khả năng cần thiết để nghiên cứu sâu hơn cácngành khoa học khác, đặc biệt là trong kinh tế. Do đó, việc họctốn cũng giúp các sinh viên của khối ngành thương mại – kinhtế – quản trị – tài chính nâng cao năng lực cạnh tranh và hộinhập. Trong vài chục giải Nobel về Kinh tế gần đây, đã cókhoảng 10 giải Nobel Kinh tế được trao cho những nhà Kinh tếhọc mà xuất thân của họ là những nhà Tốn học.Vì thời gian dành cho mơn học này trong nhà trường làq ít, nên để học tốt môn học này, các sinh viên cần phải dànhnhiều thời gian để tự học, đọc thật kỹ tài liệu và học theo nhóm.3 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếDù đã cố gắng, nhưng vẫn không tránh khỏi nhiều thiếusót. Chúng tơi thành thật mong muốn sự góp ý của quý độc giả.Nhóm biên soạn, năm 2018[Nguyễn Thanh Vân – Đào Bảo Dũng]4 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếMỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU .......................................................................... 3Chương I:MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ....................... 7Chương II:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH &ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCHKINH TẾ....................................................... 53Chương III:HÀM MỘT BIẾNGIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ......................... 99Chương IV:PHÉP TÍNH VI PHÂNCỦA HÀM MỘT BIẾN ............................. 122Chương V:TÍCH PHÂN ............................................... 167Chương VI:HÀM NHIỀU BIẾN ................................... 201Chương VII: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .................... 224Chương VIII: ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCHTRONG KINH TẾ ..................................... 2485 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế6 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếChương IMA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨCA. TÓM TẮT LÝ THUYẾTI. Định nghĩa ma trận & các phép toán cơ bản của ma trận1. Định nghĩa ma trậnMa trận A có cấp [cịn gọi là kích thước] m  n là mộtbảng số các số thực, xếp thành m dịng và n cột có dạng a11 a12aa 22A   21LL a m1 a m2Cho ma trận A   a ij mnLLLLa1n a 2n  [a ij ] mnL a mn , B   bij mn. Khi đó:A mn  Bmn  a ij  bij , i  1, m và j  1, n2. Các loại ma trận- Ma trận Omn là ma trận gồm tồn số 0.- Ma trận vng: là ma trận mà số dòng bằng số cột. Tathường gọi số dòng của ma trận vng là cấp của matrận ấy. Khi đó, đường chéo nối các phần tử a11 , a 22 ,…, a nn được gọi là đường chéo chính của ma trận7 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếvng. Khi đó, vết của ma trận vng là tổng của tất cảcác phần tử của đường chéo chính.- Ma trận tam giác trên: là ma trận vng mà các phầntử ở dưới đường chéo chính đều bằng0.- Ma trận tam giác dưới: là ma trận vuông mà các phầntử ở trên đường chéo chính đều bằng0.- Ma trận đường chéo: là ma trận vuông mà các phần tửkhơng thuộc đường chéo chính đều bằng0.- Ma trận đơn vị: là ma trận đường chéo mà các phần tửthuộc đường chéo chính đều bằng1.- Ma trận chuyển vị của A   a ij mnlà AT   a ji n m3. Phép cộng hai ma trậnA   a ij mn, B   bij A  B   a ij  bij mnmn4. Phép nhân ma trận với một số thựck.A   k.a ij mn[k  ¡ ]Tính chất: Cho A, B, C là các ma trận cấp m  n và ,  ¡Khi đó:i.A  B  B Aii.[A  B]  C  A  [B  C]iii. A  O  O  A với O  [0]mn8 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếiv. A  [A]  O với A  [a ij ] mn [còn gọi là ma trậnđối của A]v.[A  B]  A  Bvi. [  ]A  A  Avii. []A  [A]viii. 1.A  Aix. A   B T  A T   BT5. Phép nhân hai ma trậnCho các ma trậnA   a ij Thì: A.B   cij mp, B   bij pnpmnvới cij   a ik b kj , i  1, m, j  1, n .k 1Tính chất: Cho Dkm , A mn , Bmn , Cnp . Khi đói.[DB]C  D[BC]ii.[A  B]C  AC  BCiii. D[A  B]  DA  DBiv. Im Amn  Av.Amn In  Avi. [BC]T  CT BT9 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếII. Định thứcCho ma trận vuông cấp n: a11 a12aa 22A   21LL a n1 a n 2a1n a 2n  [a ij ] nnL a nn LLLLĐịnh thức của ma trận A được ký hiệu là A hay det[A]được xác định như sau:[i] n  1 , ta định nghĩa: A  a11  a11[ii] n  2, đặt A ij   1 .M ij , gọi là phần bù đại sối jcủa a ij trong A , trong đó M ij là định thức con bù của a ij trongA [chú ý rằng M ij là định thức cấp n  1 có được từ A bằngcách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j của A ].Khi đó:A = a i1Ai1  ai2 Ai2  L  ain Ain [khai triển theo dòng i]= a1jA1j  a 2 j A2 j  L  a nj Anj [khai triển theo cột j]Một số tính chất thường dùng:i.A  A T với A là ma trận vuôngii. Định thức sẽ đổi dấu nếu đổi chỗ hai dòng với nhautrong định thức.10 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếiii. Nếu các phần tử của một dòng đều có thừa số chung làsố  thì ta có thể rút  ra ngoài khỏi dấu định thức.iv. Định thức có giá trị bằng khơng nếu có hai dịng tỷ lệnhau.v.Định thức sẽ khơng đổi nếu biến đổi dịng i thànhdòng i cộng với k lần dòng j [với k ¡ , i  j ]vi. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tửnằm trên đường chéo chính.vii. AB  A . B với A , B là các ma trận vuông cùngcấpChú ý: Các tính chất ii, iii, iv, v vẫn cịn đúng khi ta thaydịng bằng cột.Quy tắc SARIUS [tính định thức cấp 3]:đường chéo chínha11 a12A  a 21 a 22a 31 a 32a13a 23a 33 [+]Hình 1.ađường chéo phụ[ ]Hình 1.b a11a 22a33  a12a 23a 31  a13a 21a32  a31a 22a13  a11a 23a32  a 21a12a33Giá trị của định thức cấp 3 bằng tổng đại số của hai nhóm: Nhóm thứ nhất mang dấu + là: Tích của các phần tử nằmtrên đường chéo chính, tích các phần tử song song vớiđường chéo chính với phần tử ở góc đối diện. [hình 1.a]11 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Nhóm thứ hai mang dấu  là: Tích của các phần tử nằmtrên đường chéo phụ, tích các phần tử song song vớiđường chéo phụ với phần tử ở góc đối diện. [hình 1.b]III. Ma trận nghịch đảoCho A   a ij n n. Ma trận B là ma trận nghịch đảo của Anếu:AB = BA = Invà B được ký hiệu là A 1 . Khi đó A được gọi là ma trận khảnghịch hay ma trận không suy biến. A11 A 21AA 22Ta ký hiệu A*   12 MM A1n A 2nLLOLA n1 An 2 i jvới A i j   1 .M i jMA nn và M ij là định thức con bù của a ij trong A [là định thức concủa A sau khi bỏ đi dòng i cột j ], ta thường gọi A * là matrận phụ hợp của ma trận A [ đơi khi A * cịn được ký hiệu làA hoặc PA ]1. Mệnh đề: Với ma trận A nn , ta có A.A*  A*.A  A .In2. Mệnh đề: A  0  A nn có ma trận nghịch đảo. Khi đóA 1 121 *AA Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi theo dịng:[thường dùng cho ma trận có cấp khá lớn]Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:i.Đổi chỗ hai dòng cho nhau.ii. Lấy một dòng nhân với một số khác 0.iii. Thay một dịng bằng dịng đó cộng với k lần dòngkhác.Biến đổi cùng một lúc hai ma trận A và I [ma trận đơn vị]cùng cấp bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, theo sơ đồnhư sau:I A  A I  1Chú ý: Trong q trình biến đổi, nếu xuất hiện một dịngcó các phần tử đều bằng 0 thì ta kết luận khơng có ma trậnnghịch đảo.Tính chất: Cho A, B là các ma trận vng khả nghịch vàcùng cấp. Khi đó:i.A 1 là duy nhất.ii.A iii. AB 1 B1.A 1iv. A 1T 1  A 1 T1 1A với   013 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế4. Giải phương trình ma trận:Xét phương trình ma trận A mn .X  Bmp [1] Cách 1: Dựa vào kích thước của các ma trận A và B, tađặt ma trận:X   x ij n pvới n là số cột của ma trận A và p là số cột của ma trận B. Dùngphép nhân ma trận và cho hai ma trận bằng nhau ta được một hệphương trình tuyến tính. Giải hệ phương trình đó, ta sẽ tìmđược các phần tử x ij . Cách 2: [chỉ được áp dụng khi A là một ma trận vng]i.Nếu A  0 , khi đó phương trình [1] có nghiệm duynhất là X  A 1Bii. Nếu A  0 , B là ma trận vuông và B  0  khơngcó ma trận X [theo định lý về phép nhân định thức].iii. Nếu A  0 , B là ma trận vuông và B  0 thì sửdụng cách 1.IV. Hạng của ma trậnCho A   a ij mn. Ma trận A có: m dịng A1d , A d2 ,..., A dm  n cột A1c , A c2 ,..., A cn 14 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếHơn nữa: Rank A1d , A d2 ,..., A dm  = Rank A1c , A c2 ,..., A cn  .Hạng của m dòng trong ma trận A được gọi là hạng củama trận A và được ký hiệu là R[A] hay r[A] hay Rank[A] .Mệnh đề: Cho ma trận A   a ij mncó ít nhất một địnhthức con cấp k khác 0 và mọi định thức con cấp k  1 đều bằng0 thì hạng của ma trận A bằng k .Mệnh đề: Nếu dùng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng[hay theo cột] thì hạng của ma trận sẽ khơng thay đổi. Nhắc lạicác phép biến đổi sơ cấp theo dòng:- Đổi chỗ hai dòng cho nhau.- Nhân một dòng với một số khác 0.- Thay dòng i bằng dòng i cộng với k lần dòng j vớik ¡ và i  j .Chú ý: Ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trong mệnh đềtrên để biến đổi ma trận A ban đầu về ma trận B có dạng bậcthang như sauB m n b11 0L 0 0L 0b12 Lb1rLb 22 Lb 2r LL0LLLb rrLL0L0LLLLO0L0Lb1n b 2n L b rn 0 L 0 15 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếtrong đó b11 , b22 , ..., brr  0 .b11 b120 b 22và R[A]  R[B]  r vì tồn tạiL L00LLOLB. BÀI TẬPBài 1: Tính các định thức sau:a. D1 1 22 3, D2 1 31 11 2 3b. D3  3 1 22 3 1m 1 1m 1 10c. D 4  1 m 1 , D5  m  1 11 1 m11 m2Giải:a. D1  5 , D2  5b. D3  42c. D4  m3  3m và D5  416b1rb 2r0Lb rr Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếab c 1Bài 2: Tính định thức D  b  c a 1ca b 1Giải:Cộng cột 2 vào cột 1, ta có:abc c 1D  a bc a 1abc b 1Rút thừa số chung [a  b  c] ở cột 1 thì1 c 1D  a  b  c 1 a 11 b 1Vì cột 1 và cột 3 giống nhau nên ta có: D  0Bài 3: Chứng minh rằng1 a a2D  1 b b 2   b  a  c  a  c  b 1 c c2Từ đó tìm điều kiện của a , b , c để D  0Giải:Thay dòng 2 bằng cách lấy dòng 2 trừ dòng 1 và thaydòng 3 bằng cách lấy dòng 3 trừ dịng 1 thì17 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế1 a a2 1aa2D  1 b b2  0 b  a b2  a 21 c c2 0 c  a c2  a 2Rút thừa số [b  a] ở dòng 2 và thừa số [c  a] ở dịng 3 thì1 a a2= D   b  a  c  a  0 1 b  a0 1 a c1 a a2Vì 0 1 b  a  c  b nên = D   b  a  c  a  c  b 0 1 acVậy, D  0  a  b  b  c  a  cBài 4: Tính định thức sau đây bằng cách khai triển theo dòng 32 34 2Da b3 143c412d3Giải:Khai triển định thức D theo dịng 3 ta có:D  aA31  bA32  cA33  dA3418 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếTa tính các phần bù đại số:A31   131A32   1A33   1A34   13 23 33 43 4 12 3 2  81 4 32 4 14 3 2  153 4 32 3 14 2 2  123 1 32 3 44 2 3  193 1 4Vậy: D  8a  15b  12c 19dBài 5: Tính định thức sau đây51D 1115111151111511111 1 1 1 519 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếGiải:Cộng cột 2, 3, 4, 5 vào cột 1, ta có99D 991 15 11 51 11 11 11 15 19 1 1 1 511Rút thừa số 9 ở cột 1, thì: D  9 111 15 11 51 11 11 11 15 11 1 1 1 5Áp dụng tính chất thay dịng k bằng cách lấy dịng k trừ dịng 1[với k  2,3, 4,5 ] ta có1 10 4D9 0 00 01 10 04 00 410000 0 0 0 4Như vậy D  9 1 4  4  4  4  230420 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếBài 6: Tính định thức cấp n sau đây1 21 0D   1 2M M330LLLM Onnn1 2 3 L0nGiải:Ký hiệu di là dòng thứ i .Thay d 2 bởi d1  d 2 , d 3 bởi d1  d3 ,…, dòng d n bởid1  d n thì ta có:1 20 2D 0 0M M3 L6 L3 LMOn2n2n0 0 0 LnMNên D  1 2  3  ... n  n!Bài 7: Cho các ma trận sau2 5 7  1 2 3 A   6 3 4  và B   3 2 4  5 2 3  3 1 0 a. Hãy tính 3A  2B .b. Tìm ma trận X sao cho A  X  B .21 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếc. Tính A.B và B.A .d. Kiểm tra lại ba câu hỏi trên với2 5 71 2 3 i. A   và B  6 3 2 3 2 4 1 2 2 5 7ii. A   và B   3 2 6 3 4 3 1Giải:a.2 5 7  1 2 3 3A  2B = 3  6 3 4  +2  3 2 4  5 2 3  3 1 0  6 15 21   2 4 6  = 18 9 12    6 4 8 15 6 9   6 2 0   8 19 15 =  24 13 4  21 8 9 b. Từ phương trình A  X  B  X  B  A 1 2 3   2 5 7   1 3 10   Nên X   3 2 4    6 3 4    3 1 8  3 1 0   5 2 3   2 13   22 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 2 5 7  1 2 3   38 7 26  c. A.B   6 3 4  3 2 4    27 14 30  5 2 3  3 1 0   10 9 7   1 2 3  2 5 7   1 17 24  B.A   3 2 4  6 3 4    2 29 41  3 1 0  5 2 3   0 12 17  d. Hướng dẫn:i. Câu c không thực hiện được.ii. Chỉ thực hiện được A.B và B.A 2 1 1 2 1 Bài 8: Cho các ma trận A   và B   1 2  2 0 10 1a. Tính A T , B T ,  AB  và BT A T .Tb. Hãy kiểm tra  AB   BT A TTGiải: 1 2  2 1 0 a. A   2 0  và BT   1 2 1  1 1T 2 1 1 2 1   4 6 A.B    1 2    2 0 1  0 1   4 123 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế A.B T 4 4  6 1 1 2  2 1 0    4 4 B A  2 0   1 2 1   1 1   6 1TTb. Theo câu a, ta có:  A.B   BT A TTnx 1Bài 9: Tính A n   với x ¡ và n là số tự nhiên0 xGiải:Bằng phương pháp quy nạp:x+ Với n  1, ta có: A1  01.x+ Với n  2, ta có:2 x 1   x 1  x 1   x 2A2    0 x   0 x  0 x   0+ Giả sử An đúng với n  k , tức là :k x 1   xkAk   0 x  024kx k 1 xk 2x x2  Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tếTa phải chứng minh An đúng với n  k 1, nghĩa là:x 1A k 1  0 xk 1x 1Thật vậy: A k 1  0 x xk0 x k 1 0k 1 k  1 x k x k 1[1]kx 1 x 1 .0 x 0 xkx k 1   x 1   x k 1xk   0 x   0 k  1 x k x k 1Vậy [1] đúng. xnDo đó: A n  0nx n 1 xn  a1 00 a2Bài 10: Cho ma trận A  L L0 0 a1k0kĐáp số: A  L00a k2L0LLLLLLLL00. Hãy tính A kL an 00L a kn 25