CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊNI.Kiến thức cơ bản1. Định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên*a n = a14.a2.a....43a [n ∈ N ]n thua so a2. Tính chấtVới a, b, m, n, p ∈ N ta cóa m .a n = a m+n ; a m .a n .a p = a m+ n + pa m : a n = a m−n [a ≠ 0; m > n][ a.b ][a ]mm n= a m .b m= a m .nQuy ước:a 0 = 1[a ≠ 0]II.a1 = aBảng mô tả và câu hỏiNội dungĐịnhNhận biếtThông hiểuVận dụng Vận dung caothấpbiết Tính được tích của So sánh 2nghĩa Nhậnlũy thừa với số được lũy thừa nhiều số tự nhiên lũymũ tự nhiênvới số mũ tự giốngnhiên,nhau,đưa bằng cáchphân tích đó về dạng lũy tínhbiệt được cơ thừaBài 1số, số mũ.Viết đúng vàđọc đúng.thừatrựctiếpTìm thànhphần chưabiếtkhihailũythừa cùngcơ sốhoặc cùngsố mũBài 2,3,6Page 1Các phép tính Nắmvề lũy thừađược, Vận dụng các phép Vận dụng Vậnviết được các tính về lũy thừa để cáccôngphép biếndụngvàđổicácthức tính toánBài 1;4tính liên quantính về lũy biểu thức về lũyđến lũy thừacácthừa để và thừa, đồng thờiphép liên hệ với cácbiếnđổi kiếnthứcvềđể làm các chia hết, về dấubàitập hiệu chia hết đểtínhtoán giải quyết cácvà rút gọnBài5;7;8;9bài toán phứctạp [các bà tậpdạng 3, dạng 4,dạng 5]Các dạng bài tập1. Dạng 1: Tính toán trên các lũy thừaIII.Bài 1: Đưa các biểu thức sau dạng lũy thừaa]5x.5x.5xf ]410.230b]164 : 42g ]2550.1253c]1253 : 253h]183 : 93d ]278 : 94i ]225 : 324e]644.165 : 412k ]197 :193Bài 2: Viết các số sau dưới dạng bình phương của một số tự nhiêna]13 + 23b]13 + 23 + 33 + 43Bài 3: Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10Page 2a]123 b]421 c]1256 d]2006 e] abcdeBài 4: Thực hiện phép tính sau một cách hợp lía] A = [217 + 17 2 ].[915 − 315 ].[2 4 − 4 2 ]b] B = [71997 − 71995 ] : [71994.7]c]C = [28 + 83 ] : [25.23 ]Bài 5: Tính giá trị biểu thức212.14.125a] A =356.646.204.182b] B =1805723.542c]C =1084213 + 25d ] D = 102 + 22310.11 + 310.5e] E =39.2449.36 + 64 4f ]F =164.1002. Dạng 2: Tìm số tự nhiên chưa biết2.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừaPhương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng số mũVí dụ 1: Tìm số tự nhiên x biếta][ x + 1] 2 = 16b] x 2 = x 5Giải:a ][ x + 1] 2 = 16 ⇒ [ x + 1] 2 = 42 ⇒ x + 1 = 4 ⇒ x = 3b] Nếu ở câu a học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến câu b không tránh khỏi băn khoănvì: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau. Vậy phải làmcách nào đây? Nhiều học sinh mò x=0, x=1. Nhưng cách này không thuyết phục lằmvì biết đâu còn số tự nhiên c khác cũng thỏa mãn đề bài.Page 3GV gợi ý:x 2 = x 5 ⇔ x 2 − x 5 = 0 ⇔ x 2 [1 − x 3 ] = 0 x2 = 0x = 0⇔ 3⇔x = 1x =1Bài tập tương tựBài 6: Tìm số tự nhiên x biếta][2 x + 1]3 = 125d ][3x − 1]5 = 32g ][ x − 1] 2 = [2 x − 3] 2b][7 x − 11]3 = 25.52 + 200e][ x − 5]5 = [ x − 5]6h]27 x 3 = [ x + 2] 3c] x15 = xf ][ x − 1]3 : 27 = 8h][2 x − 1]5 = [2 − x]52.2.Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừaPhương pháp: đưa về hai lỹ thừa cùng cơ sốVí dụ: Tìm số tự nhiên n biếta]2n = 16b]2n + 2n + 2 = 5c]3 < 3n < 81Giải:a]2n = 16 ⇔ 2n = 24 ⇔ n = 4b] Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. nhưng đến câu b các em vấpngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ.Lúc này giáo viên có thể gợi ý:2n + 2n+ 2 = 5 ⇔ 2 n [1 + 2 2 ] = 5 ⇔ 2 n = 1 ⇔ n = 0Page 4c] đây là dạng bài toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướngdẫn học sinh đưa về cùng cơ số.3 < 3n < 81 ⇔ 31 < 3n < 34Mà n ∈ N ⇒ 1 < n < 4 ⇒ n = 2, n = 3Các bài tập tương tựBài 7: Tìm số tự nhiên n biếta]2 x.4 = 128d ]27.3x = 243b]2 x − 15 = 17e]49.7 x = 2401c]3x + 25 = 26.22 + 2.30f ]34.3x = 37Bài 8: Tìm số tự nhiên n biếta ]9 < 3 < 81nb]25 ≤ 5n ≤ 125c]32 < 2n < 128d ][22 : 4].2n = 41e] .34.3n = 3791f ] .2n + 4.2n = 9.252Bài 9: Tìm số tự nhiên n biếta]125.5 ≥ 5n ≥ 5.25c]411.2511 ≤ 2 n.5n ≤ 2012.512b]243 ≥ 3n ≥ 9.27d ]2n+3.2n = 144Bài 10: Tìm các số tự nhiên x, y biếta ]2 x +1.3 y = 12 xb]10 x : 5 y = 20 yBài 11*: Tìm số tự nhiên n biếtPage 545 + 4 5 + 4 5 + 4 5 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5 + 6 5.= 2n555553 +3 +32 +23. Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừaPhương pháp: Cần lắm được một số nhận xét sau:+] Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa ta được số có tận cùng là0,1,5,6.+] Các số có tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 6.+] Các số có tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 1.Ví du:a]Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008 ;1112008 ;123452014 ;4562013b] Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2007 2008 ;13582008 ;23456 ;204206 ;20032005c] Cho M = 17 25 + 244 − 1321 chứng minh rằng M M10Giải:a] Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm ra đáp ánTận cùng của 20002008 là số 0.Tận cùng của 1112008 là số 1Tận cùng của 123452014 là số 5Tận cùng của 4562013 là số 6b] Hướng dẫn: đưa các số về dạng lũy thừa của số có tận cùng là 0;1;5;6.Page 6+]2007 2008 = [2007 4 ]502 = [...1]502 = ...1+]13582008 = [13584 ]502 = [...6]502 = ...6+]23456 = [ 24 ]864= 16864 = ...6+]204 206 = [ 204 2 ]103[ ]= ...6103= ...6+]20032005 = 2003.20032004 = 2003.[ 20034 ]501[ ]= ...3. ...1501= ...3c] Ta thấy những số chia hết cho 10 thì có tận cùng là 0. Ta sẽ chứng minh chữ số tậncùng của M là 0 bằng cách tìm chữ số tận cùng của từng số hạng.[ ]= [ 24 ] = [ ...6 ] = ...6= [ 13 ] .13 = [ ...1] .13 = ...317 25 = [ 17 4 ] .17 = ...1 .17 = ...76624413212 24 525⇒ M = ...7 + ...6 − ...3 = ...0 ⇒ M M10Một số bài tập tương tự và nâng caoBài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:73a]22003 ;499 : 7895 ;2335 ;5833 ;7895b]20122005 ;332003.342003 ;282006.811003c]1997.19973.19975......1997 201d ]1998.19987.199813....1998151Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của hiệu2007.2009.2011……2017-2002.2004.2006.2008Bài 14: Chứng minh rằng các tổng [hiệu] sau chia hết cho 10a]481n + 19991999d ]8102 − 2102b]162001 − 82000e]175 + 244 − 1321c]192005 + 112004f ]122004 − 21000Bài 15: Chứng minh rằng số sau là một số tự nhiênPage 7941 20042005.[7− 392 ]103B = [20032013 − 19971997 ]10200619981C = [1997 2004 − 19931994 ]10Bài 16: Các tổng sau có là số chính phương không?a]108 + 8A=b]100!+ 7c]10100 + 1050 + 1Bài 17: Tìm chữ số tận cùng của tổnga] A = 5 + 52 + 53 + ... + 596b] B = 30 + 31 + 32 + ... + 330c]C = 2 + 22 + 23 + ... + 21004. Dạng 4: So sánh hai lũy thừaPhương pháp: Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về cùng cơ số hoặc cùng sốmũ [ có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh]Lưu ý với một số tính chất saua, b, c, d , m, n ∈ N :a > b ⇔ am > bmm > n ⇔ am > ana > b ⇒ ac > bdc > dVí dụ: So sánh các lũy thừa saua ]2100 và10249b]3500 và7300c]291 và535Giải:Page 8a]10249 = [210 ]9 = 290 < 2100⇒ 10249 < 210b] Ta có3500 = [35 ]100 = 2431007300 = [73 ]100 = 343100234 < 343 ⇒ 234100 < 343100⇒ 3500 < 7300d] Nếu 2 ý a, b là so sánh trực tiếp các lũy thừa thì ý c ta phải sử dụng lũy thừatrung gian để so sánh.291 > 290 = [25 ]18 = 3218535 < 536 = [52 ]18 = 2518535 < 2518 < 3218 < 291⇒ 535 < 291Một số bài tập tương tự và nâng caoBài 18: So sánha ]528 và2614b]521 và12410d ]421 và647e]544 và2112c]3111 và1714f ]3111 và1714Bài 19: so sánh các số sau, số nào lớn hơna ]536 và1124e]6255 và1257b]32 n và23nf ]523 và6.522c]7.213 và216g ]2115 và275.498d ]19920 và200315Bài 20: So sánh các số saua]7245 − 7244 và72 44 − 7243b]52 n và25 n [n ∈ N *]c]202303 và303202d ]199010 + 19909 và199110Bài 21: Tìm số tự nhiên x sao choPage 9h]339 và1121a]16 x < 12818b]5x.5x +1.5x + 2 < 100....01 2 3 :218 so2Bài 22: cho S = 1 + 2 + 2 + ... + 22005Hãy so sánh S với 5.2 20045. Dạng 5: Tính toán trên các lũy thừaPhương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính trên các lũy thừa đểtính cho hợp lí và nhanh. Biêt kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toánkhi biến đổi.Ví dụ 1: Chứng minh rằng :a] A = 102008 + 125M45b] B = 52008 + 52007 + 52006 M31Giải:Với bài toán này học sinh cần huy động kiến thức về chia hết. kĩ năng và phươngpháp biến đổi. Đặc biệt cần chú ý aMm; aMn;UCLN [m; n] = 1 ⇒ aMm.na] A = 102008 + 125M45Ta có 102008+ 125 = 1000...014 2 43 + 125 = 100...01251232008 sô2005 soA có tận cùng là 5 nên AM5Tổng các chữ số của A là 1+1+2+5=9 nên AM9Mà UCLN[5;9]=1 nên AM5.9 ⇒ AM45200820072006b] B = 5 + 5 + 5 M31Ta không thể tính từng giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia.Giáo viên gợi ý cách tách để đặt thừa số chungB = 52008 + 52007 + 52006= 52006.52 + 52006.5 + 52006= 52006 [52 + 5 + 1] = 31.52006 M31Ví dụ 2: Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 2603; AM7Chứng minh rằng AMGiải:Với bài này giáo viên hướng dẫn các em nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2hoặc 3 hoặc 4 lũy thừa…sao cho khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiệnsố cần chứng tỏ A chia hết cho nó.Page 10A = 2 + 2 2 + 23 + ... + 260= [2 + 22 ] + [23 + 24 ] + ... + [259 + 260 ]= 2.[1 + 2] + 23 [1 + 2] + .... + 259 [1 + 2]= [[1 + 2][2 + 23 + ... + 259 ]= 3.[2 + 23 + .... + 259 ]M3Tương tự ta cóA = 2 + 22 + 23 + ... + 260= [2 + 22 + 23 ] + ... + [258 + 259 + 260 ]= 2.[1 + 2 + 22 ] + .... + 258 [1 + 2 + 22 ]= [1 + 2 + 22 ][2 + 24 + ... + 258 ]= 7.[2 + 24 + .... + 258 ]M7Một số bài tập tương tự và nâng caoBài 23: chứng tỏ rằnga] A = 3 + 32 + 33 + ... + 32007 M13b] B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 4 n−1 + 7 4 n M400Bài 24: a] Tính tổng Sn = 1 + a + a 2 + ... + a nb] Áp dụng tính các tổng sau:A = 1 + 3 + 32 + ... + 32008B = 1 + 2 + 22 + ... + 21982C = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 n−1 + 7 nBài 25: Chứng tỏ rằng các tổng sau được viết dưới dạng một số chính phươngM = 13 + 23N = 13 + 23 + 33P = 13 + 23 + 33 + 43Q = 13 + 23 + 33 + 43 + 53Bài 26: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2T = 2 + 22 + 23 + ... + 22008Bài 27: So sánha] A = 1 + 2 + 22 + ... + 22008 vàB = 22009 − 1b] P = 1 + 3 + 32 + ... + 3200 và3201c] E = 1 + x + x 2 + ... + x 2008vàF = x 2009 [ x ∈ N *]Bài 28: Tìm số dư khi chia A cho 7 biết rằngT = 2 + 22 + 23 + ... + 22008 + 22002Page 11Bài 29: Tìma] Số tự nhiên n biết2.P + 3 = 3nP = 3 + 32 + ... + 3100b] Chữ số tận cùng của A biết A = 1 + 2 + 22 + ... + 220Bài 30: Chứng tỏ rằng:a]87 − 218 M14b]122 n+1 + 11n+2 M133c]817 − 279 − 913 M405d ]106 − 57M59e]1028 + 8M72f ]439 + 4 40 + 441 M28g ]4 + 42 + 43 + ... + 416 M5h]3 + 35 + 37 + .... + 31991 M13và M41IV. Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh- NL tính toán: vận dụng các phép tính về lũy thừa để tính giá trị của mộtbiểu thức phức tạp có liên quan đến lũy thừa.- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toándạng khác về dạng quen thuộc.- NL giải quyết vấn đề:- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm vàV.giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò.Phương pháp dạy học- Nêu và giải quyết vấn đề- Hoạt động nhóm- Luyện tập thực hành.Chúc các em học tốt!Page 12