Cách Chứng minh phương trình có 2 nghiệm

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

A.

 

+>0 với  m

B.

 

+>0 với  m

C.

 

+>0 với  m

D.

 

+>0 với  m

Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây

A. Phương pháp giải

+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].

+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.

- Bước 2:Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0

- Bước 3:Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].

Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].

Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+] Một số chú ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng[–1;2].

Hướng dẫn giải:

Hàm số f[x] = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R.

Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng[–1;2].

Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x3+ x - 1

Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]

Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1]⊂ R] [1]

Ta có: f[0] = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]

Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].

Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].

Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f[x] = 4x4+ 2x2- x - 3

Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.

Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4+ 2.[-1]2- [-1] - 3 = 4

f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f[1] = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2

+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]

Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]

Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]

Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].

Ta có:

Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình [m2- m + 3]x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = [m2- m + 3]x2n- 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập áp dụng

Bài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.

Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].

Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn

Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

[m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]

c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt

d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*

Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:

a] m[x - 1][x - 2] + 2x + 1 = 0

b] [m2 - 2m]x3 + 2x - 1 = 0

c] cosx + mcoss2x = 0

d] [1 - m2][x + 1]3 + x2 - x - 3 = 0

Bài 9.Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm

Ôn tập Toán 9

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m tóm tắt các lý thuyết liên quan, cách giải và ví dụ minh họa kèm theo. Qua đó giúp học sinh nhanh chóng biết cách vận dụng vào giải Toán 9.

Đây là một trong những dạng toán khó, nhằm kiểm tra trình độ, phân loại học sinh lớp 9. Chính vì vậy hôm nay Download.vn đã giới thiệu khái quát về lý thuyết và cách giải chi tiết. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao.

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

ax2+bx+c=0 [a≠0], được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.[1]

Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình [1] thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.

2. Cách giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 như sau:

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Khi:

• Δ < 0 => phương trình [1] vô nghiệm
• Δ = 0 => phương trình [1] có nghiệm kép
• Δ > 0 => phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt

3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2

Cho phương trình bậc 2:

. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn

Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=[x1+x2]2-2x1x2=[b2-2ac]/a2

Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

4. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

5. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ví dụ: Cho pt x2 – [m-2]x +m-4=0 [x ẩn ; m tham số ]

a] chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Xét Δ = [m- 2]2- 4*[m- 4]= m2- 4m+ 4- 4m+ 16= m2- 8m+ 20= [m- 4]2+ 4>= 4

Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b] Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1+ x2= 0 m- 2= 0 =>m=2

Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Ví dụ 2. Cho phương trình

[m là tham số]

a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b] Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

a] Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b] Theo hệ thức Vi – et ta có:

không phụ thuộc vào tham số m

Ví dụ 3: Cho phương trình

[m là tham số]

a] Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b] Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

Hướng dẫn giải

a] Ta có:

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b] Theo hệ thức Vi – et ta có:

Theo giả thiết ta có:

x1 < 1 < x2 =>

=> [x1 – 1][x2 – 1] < 0

=> x1x2 – [x1 + x2] + 1 < 0 [**]

Từ [*] và [**] ta có:

[2m – 5] – [2m – 2] + 1 < 0

=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m

Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2