Cách làm bài Toán hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Cách giải bài tập qui tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cực hay, chi tiết

Trang trước Trang sau

a] Định nghĩa hoán vị:

Một tập hợp gồm n phần tử [n 1]. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nàođóđược gọi là một hoán vị của n phần tử.

b]Số các hoán vị:

    Pn = n! = n[n – 1][n – 2] … 1.

c] Hoán vị vòng quanh

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử: Qn = [n – 1]!

d] Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách xếp?

Hướng dẫn

Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một hàng ngang là một hoán vị của 10.

Vậy ta có tất cả: P10 = 10! = 3628800 cách xếp.

Ví dụ 2. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một vòng tròn thì có bao nhiêu cách xếp?

Hướng dẫn

Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một vòng tròn kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của 10.

Vậy ta có tất cả: Q10 = [10 – 1]! = 9! = 362880 cách xếp.

Ví dụ 3. Trong tủ sách có tất cả 5 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho quyển sách thứ nhất kề quyển sách thứ hai.

Hướng dẫn

+ Chọn hai vị trí liên tiếp trong 5 vị trí gộp lại để xếp quyển thứ nhất và quyển thứ hai kề nhau. Suy ra có 4 vị trí để xếp hai quyển này, vậy có 4 cách.

+ Xếp hai quyển sách thứ nhất và thứ hai, có hai cách xếp [hoán vị cho nhau]

+ Sắp 3 quyển sách còn lại vào 3 vị trí, có 3! cách.

+ Vậy có tất cả: 4. 2. 3! = 8. 6 = 48 cách.

a] Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A [1 ≤ k ≤ n] theo một thứ tự nàođóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

b] Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chú ý:

- Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 và k = n

Quy ước: 0! = 1 và An0 = 1

- Khi k = n thì Ann = Pn = n! [hoán vị]

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xếp 5 người vào mỗi băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? [mỗi người ngồi một ghế].

Hướng dẫn

+ Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế 7 chỗ ngồi và xếp 5 người đó vào 5 vị trí ngồi chính là chỉnh hợp chập 5 của 7.

+ Vậy có: A75 = 2520 cách.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng, cho một tập gồm 7 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto

có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

Hướng dẫn

+ Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm [A, B] cho ta một vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 7 điểm đã cho.

+ Vậy số vecto cần tìm là: A72 = 42 [vecto].

a] Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k [1 ≤ k ≤ n] phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b] Số các tổ hợp chập k của n phần tử

Lưu ý: Công thức này cũng đúng với k = 0

Quy ước: Cn0 = 1 [coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử]

c] Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có 10 cuốn sách khác nhau. Chọn ra 4 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Hướng dẫn

Mỗi cách chọn ra 4 cuốn sách trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có C104 = 210 cách chọn.

Ví dụ 2. Lớp 11A có 19 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 bạn nam và 2 bạn nữ để đi tham gia chiến dịch phòng chống “Sốt xuất huyết” của Huyện Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Hướng dẫn

+ Chọn ra 4 bạn nam trong 19 bạn nam có: C194= 3876 cách chọn

+ Chọn ra 2 bạn nữ trong 15 bạn nữ có: C152 = 105 cách chọn

+ Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: 3876 . 105 = 406980 cách.

a] Dạng 1: Bài toán đếm

● Phương pháp giải:

Sử dụng hai quy tắc công và quy tắc nhân, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?

A. 840

B. 432

C. 35

D. 576

Hướng dẫn

+ Các chữ số lẻ trong 7 chữ số trên là: 1, 3, 5, 7, có 4 số

Suy ra chọn hai chữ số lẻ có: C42 cách

+ Các chữ số chẵn trong 7 chữ số trên là: 2, 4, 6, có 3 số

Suy ra chọn hai chữ số chẵn: có C32 cách

+ Với 4 chữ số đã chọn ở trên, ta xếp vào 4 vị trí có: 4! cách

Theo quy tắc nhân, vậy có thể lập được: C42.C32.4! = 432 số.

Đáp án B

Ví dụ 2. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi mội khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

A. 120

B. 504

C. 720

D. 480

Hướng dẫn

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:

+ Ta có: a1 ∈ {1;2;3;4;5} [vì chữ số đầu tiên không thể bằng 0] ⇒ Có 5 cách chọn a1

+ Tiếp theo ta bỏ a1 và 0 thì tập hợp đã cho còn lại 4 chữ số. Ta chọn 3 chữ số từ 4 chữ số đó, ta có C43 cách chọn.

Chúng ta xếp chữ số 0 và 3 chữ số vừa chọn được vào 4 vị trí a2; a3; a4; a5 ta được 4! cách xếp.

Do đó chọn cho các chữ số a2; a3; a4; a5 có mặt chữ số 0 ta có: C43.4! cách.

+ Vậy theo quy tắc nhân, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.C43.4! = 480 số.

Đáp án D

Ví dụ 3. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang ghế số chẵn, 3 vé mang ghế số lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó?

A. 36

B. 180

C. 72

D. 18

Hướng dẫn

+ Trong 6 vé có 3 vé mang ghế số chẵn, do đó xếp 2 bạn vào ghế mang số chẵn có A32cách [vì sắp thứ tự luôn hai bạn đó nên ta dùng chỉnh hợp].

+ Tương tự, xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A32 cách.

+ Vậy còn lại 2 bạn và 2 chỗ, Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.

+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó là: A32.A32.2! = 72 cách.

Đáp án C

b] Dạng 2: Bài toán chọn người [vật], xếp vị trí, công việc

● Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân, khái niêm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

A. 1200

B. 1800

C. 1000

D. 200

Hướng dẫn

+ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư có C63 cách.

+ Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư có C53 cách.

+ Dán 3 tem thư lên 3 bì thư thì có 3! cách dán.

+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách chọn cần tìm là: C63.C53.3! = 1200 cách.

Đáp án A

Ví dụ 2. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

A. 80640

B. 108864

C. 145152

D. 217728

Hướng dẫn

Xét các trường hợp sau:

+ TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau

Gộp 2 học sinh lớp A lại thành một [để đứng cạnh nhau] và xếp cùng với 7 học sinh của hai lớp còn lại thì có 8! cách.

Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.

Vậy có: 2!.8! cách xếp để 2 học sinh lớp A đứng cạnh nhau.

+ TH2: Giữa hai học sinh lớp A có 1 học sinh lớp C.

Chọn 1 học sinh lớp C để xếp cùng 2 học sinh lớp A có A41 cách.

Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.

Xếp 6 học sinh còn lại của hai lớp cùng với 1 nhóm 3 học sinh trên có 7! cách

Vậy có: 2!. A41.7! cách xếp để có 1 học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A.

+ TH3: Giữa hai học sinh lớp A có 2 học sinh lớp C.

Tương tự TH2, vậy ta có: 2!. A42. 6! cách.

+ TH4: Giữa hai học sinh lớp A có 3 học sinh lớp C, có 2!.A43.5! cách.

+ TH5: Giữa hai học sinh lớp A có 4 học sinh lớp C, có 2!.A44.4! cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có:

 2!.8! + 2!. A41.7! + 2!. A42.6! + 2!. A43.5! + 2!.A44.4! = 145152 cách.

Đáp án C

Ví dụ 3. Ông và bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hàng hoặc cuối hàng.

A. 720

B. 1440

C. 18720

D. 40320

Hướng dẫn

Bài này ta dùng phần bù để giải quyết.

+ Có tất cả 8 người cùng lên máy bay, xếp 8 người thành một hàng dọc có 8! cách.

+ Xếp ông An và bà An vào 2 trong 6 vị trí ở giữa [8 vị trí trừ đi 2 vị trí ở đầu và cuối hàng] thì có A62 cách.

Xếp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.

Do đó số cách xếp để ông An và bà An không đứng ở vị trí đầu và cuối hàng là A62.6! cách.

+ Vậy số cách xếp để ông An hay bà An đứng ở vị trí đầu hoặc cuối hàng là

    8! - A62.6! = 10720 cách.

Đáp án C

c] Dạng 3: Bài toán liên quan đến hình học

● Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

- Vận dụng các khái niệm hình học liên quan.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ dưới. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?

A. 4374

B. 139968

C. 576

D. 15552

Hướng dẫn

Tô màu theo nguyên tắc sau:

+ Tô 1 ô vuông 4 cạnh: Chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó có 6.C32 cách tô.

+ Tô 3 ô vuông 3 cạnh [có một cạnh đã được tô trước đó]: ứng với một ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong hai màu còn lại tô hai cạnh còn lại, có 3. C21 = 6 cách tô. Do đó có 63 cách tô.

+ Tô 2 ô vuông 2 cạnh [có 2 cạnh đã được tô trước đó]: ứng với mỗi ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh [ 2 cạnh tô trước cùng màu hay khác màu nhau không ảnh hưởng đến số cách tô]. Do đó có 22 cách tô.

+ Vậy có: 6. C32.63.22 = 15552 cách tô.

Đáp án D

d] Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Phương pháp giải

- Dựa vào công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và một số tính chất của nó để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ tổ hợp về dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số để giải.

- Một số công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và tính chất

Cho n là số nguyên dương và 0 ≤ k ≤ n, ta có:

- Chú ý về điều kiện của phương trình, bất phương trình và hệ.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số các số nguyên dương n thỏa mãn 6n – 6 + Cn3 = Cn + 13 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Hướng dẫn

Đối chiếu điều kiện vậy n = 12

Vậy có 1 số nguyên dương n thỏa mãn bài toán.

Đáp án B

Ví dụ 2. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An2 - 3Cn2 = 15 - 5n.

A. 13

B. 10

C. 12

D. 11

Hướng dẫn

Đối chiếu điều kiện vậy n = 5 và n = 6.

Vậy tổng số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu là 5 + 6 = 11.

Đáp án D.

Ví dụ 3. Giải phương trình Ax3 + Cxx - 2 = 14x

A. Một số khác

B. x = 6

C. x = 5

D. x = 4

Hướng dẫn

Kết hợp điều kiện vậy x = 5.

Cách 2: Thử các kết quả ở phần đáp án vào phương trình đã cho, thấy x = 5 thỏa mãn. [Cách này chỉ áp dụng cho trường hợp làm bài trắc nghiệm và có đáp án thỏa mãn]

Đáp án C

Ví dụ 4. Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện Cm2 = 153 và Cmn = Cmn + 2. Khi đó m + n bằng

A. 25

B. 24

C. 26

D. 23

Hướng dẫn

+ Theo tính chất Cnk = Cnn - k, vậy từ Cmn = Cmn + 2, suy ra n + 2 = m – n

⇔ 2n + 2 = m ⇔ 2n + 2 = 18 ⇔ n = 8[tm]

Vậy m + n = 18 + 8 = 26.

Đáp án C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp

Bởi

Thuvienhoclieu.com

-

07-11-2017

0

4265

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT 11 CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

• Chuyên đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất lớp 11 có lời giải
• Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp
• Bài tập hoán vị-chỉnh hợp-tổ hợp-nhị thức niu tơn- xác suất có đáp số
• Bài Tập Trắc Nghiệm Quy Tắc Đếm Có Đáp Án
• Trắc Nghiệm Hoán Vị Chỉnh Hợp Tổ Hợp Có Đáp Án
• 20 Đề Kiểm Tra 1 Tiết Chương Tổ Hợp Và Xác Suất Toán 11 Có Đáp Án
• Bài Tập Trắc Nghiệm Xác Suất Có Đáp Án
• Bài Tập Trắc Nghiệm Nhị Thức Niu-Tơn Có Đáp Án Và Lời Giải
• 45 Câu Trắc Nghiệm Xác Suất Có Đáp Án Và Lời Giải
• Phương Pháp Giải Các Bài Toán Tổ Hợp Xác Suất Có Lời Giải Và Đáp Án
• 40 Câu Trắc Nghiệm Bài Quy Tắc Đếm Có Đáp Án
• 100 Câu Trắc Nghiệm Hoán Vị-Chỉnh Hợp-Tổ Hợp Theo Mức Độ Có Đáp Án
• 30 Câu Trắc Nghiệm Bài Phép Thử Và Biến Cố Có Đáp Án

Tài liệu phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp được biên soạn dưới dạng word gồm 12 trang. Tài liệu gồm các nội dung: Tóm tắt giáo khoa, các phương pháp giải xen kẻ các ví dụ có lời giải. Các bạn xem và tải về ở dưới.

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

Cập nhật lúc: 11:05 02-07-2018 Mục tin: LỚP 11

Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp là một chuyên đề tưởng khá thú vị, hơn nữanó cần sự tinh tế nhất định trong cách xử lý bài toán. Các phần công thức và bài toán có lời giải dưới đâychúng tôi xin được gửi tặng các bạnđang yếu phần này và có nhu cầu học bổ trợ để nâng cao kiến thức chuyên đề Tổ hợp xác suất. Các bài tập trong tài liệu được phân dạng rất rõ ràng nên các em dễ dàng tiếp cận và học nhanh. Hi vọng mọi người đều giỏi lên sau khi đọc xong chuyên đề này nhé!

I. Định nghĩa

1. Hoán vị là gì?

Trongtoán học, đặc biệt là trongđại số trừu tượngvà các lĩnh vực có liên quan, mộthoán vịlà mộtsong ánhtừ mộttập hợphữu hạnXvào chính nó.

Tronglý thuyết tổ hợp,khái niệmhoán vịcũng mang một ý nghĩa truyền thống mà nay ít còn được dùng, đó là mô tả một bộ có thứ tự không lặp

Khái niệm hoán vị diễn tả ý tưởng rằng những đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau và được định nghĩa như sau:

Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là mộthoán vịcủa n phần tử đó.

Ví dụ: Với tập hợp gồm các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một số các hoán vị như thế là: "1, 2, 3, 4, 5, 6", "3, 4, 6, 1, 2, 5", "2, 1, 4, 6, 5, 3", v..v.

Một số hoán vị đặc biệt:

• Hoán vị vòng
• Hoán vị chẵn và lẻ
• Hoán vị Josephus
• Nhóm đối xứng
• Nhóm hoán vị

2. Chỉnh hợp là gì?

Trongtoán học,chỉnh hợp

là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái vớitổ hợplà không phân biệt thứ tự.

Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau:

\[{\displaystyle A[n,k]=A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{[n-k]!}}}\]

Ví dụ với tập hợpE={a,b,c,d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E là:\[{\displaystyle A_{4}^{3}=24.}\]

3. Tổ hợp là gì?

Tổ hợp làcách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.

Mới nhất:Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết về tổ hợp

4. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị

Nội dung	Tổ hợp	Chỉnh hợp	Hoán vị
Công thức	\[C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k![n-k]!}}}\]	\[A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{[n-k]!}}=k!C^k_n\]	\[P_n=n!=[n-k]!A^k_n\]
Tính chất	Đổi chỗ phần tử không ảnh hưởng đến kết quả	Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả	Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả
Bài tập phân biệt	Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.	Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.	Có bao nhiêu tập hợp gồm 4 chữ số khác nhua được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.

II. Công thức chỉnh hợp

1. Chỉnh hợp không lặp:

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A [\[1\le k\le n\]] theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

\[A^k_n=n.[n-1][n-2]...[n-k+1]=\dfrac{n!}{[n-k]!}\]

Khi k = n thì\[A^n_n=p_n=n!\]

2. Chỉnh hợp lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:

\[A^k_n=n^k\]

III. Công thức tổ hợp

1. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k[\[1\le k\le n\]] phần tử của A được gọilà một tổhợp chập k của n phần tử của tập A.

Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau.

Công thức tính tổ hợp chập k của n:

\[{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n[n-1]\ldots [n-k+1]}{k[k-1]\dots 1}}}\]

Công thức trên có thể viết dưới dạnggiai thừa\[{\displaystyle {\dfrac {n!}{k![n-k]!}}}\], trong đó\[{\displaystyle k\leq n}\], và kết quả là 0 khi \[{\displaystyle k>n}\]. Tập hợp tất cả các tổ chậpkcủa tậpSthường được ký hiệu là\[{\displaystyle {\binom {S}{k}}\,}\]

Cách tính tổ hợp

\[C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k![n-k]!}}}\]

Tính chất:

• \[C^0_n=C^n_n=1\]
• \[C^k_n= C^{n-k}_n\]
• \[C^k_n=C^{k-1}_{n-1}+C^k_{n-1}\]
• \[C^k_n=\dfrac{n-k+1}{k}C^{k-1}_n\]

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập \[A = {a_1,a_2,...,a_n}\]và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

\[C^k_n=C^k_{n+k-1}= C^{m-1}_{n+k-1}\]

Quan tâm:Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - lý thuyết quy tắc nhân

III. Bài tập về quy tắc đếm có đáp án

Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Lời giải: Ta có:

Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách. Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.

Xem ngay:

• Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết chỉnh hợp
• Câu hỏi 1 trang 47 SGK Đại số
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Toán lớp 11

Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Lời giải:

a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \[n = \overline{a_1a_2a_3a_4}\]. Để có số n ta phải chọn đồng thời \[a_1\],\[a_2\],\[a_3\], \[a_4\]trong đó:

• \[a_1\]có 6 cách chọn
• \[a_2\]có 5 cách chọn
• \[a_3\]có 4 cách chọn
• \[a_4\]có 3 cách chọn

Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm.

b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là \[n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\] trong đó:

• \[a_5\]chỉ có 1 cách chọn [bằng 2]
• \[a_1\]có 5 cách chọn
• \[a_2\]có 4 cách chọn
• \[a_3\]có 3 cách chọn
• \[a_4\]có 2 cách chọn

Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số.

Bài 3: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau
Lời giải:

1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \[n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\]

• \[a_1\]có 6 cách chọn[vì a1 ≠ 0]
• \[a_2\]có 6 cách chọn
• \[a_3\]có 5 cách chọn
• \[a_4\]có 4 cách chọn
• \[a_5\]có 3 cách chọn

Vậycó 6.6.5.4.3 = 2160 số
2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2, 5 đứng cạnh nhau.
Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số

Trường hợp 1:\[a_1\]= a

• \[a_2\]có 5 cách chọn
• \[a_3\]có 4 cách
• \[a_4\]có 3 cách

Vậycó 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2: \[a_1\]≠ a nên

• \[a_1\]có 4 cách chọn [ a1 ≠ 0,2,5]
• có 3 vị trí cho số a giả sử \[a_2\]= a
• \[a_3\]có 4 cách
• \[a_4\]có 3 cách

Vậycó 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số.
Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách.

Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp. Nếu có thắc mắc hay tài liệu tham khảo thúvị vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho cácbạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu íchnày sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!

Tags hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Bài trước

CHUYÊN ĐỀ 1: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

• KIẾN THỨC CẦN PHẢI NHỚ:
• Trước tiên ta cần nhớ các công thức:

1. Các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Tiếp theo ta phải phân biệt được khi nào thì dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào thì kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp [ bài toán kết hợp].

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Các dạng toán về: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

🔢 GIA SƯ TOÁN

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH XÁC SUẤT [ÔN THI THPT QUỐC GIA]

Bài17:Mộtnhómgồm6họcsinhcótênkhácnhau,trongđócóhaihọcsinhtênlàAn vàBình.Xếpngẫunhiênnhómhọcsinhđóthànhmộthàngdọc.Tínhxácsuấtsaocho haihọcsinhAnvàBìnhđứngcạnhnhau.

Hướngdẫn

–Mỗicáchxếpngẫunhiên6họcsinhthành1hàngdọclàmộthoánvịcủa6phầntử

✅ GIA SƯ XÁC SUẤT THỐNG KÊ