Cách tính chiều cao của hình nón cụt

Công thức tính thể tích hình nón cụt

Công thức tính thể tích hình nón cụtbằng hiệu thẻ tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.

Trong đó:

+ V: Thể tích của hình nón cụt

+ h: chiều cao và là khoảng cách giữa 2 đáy của hình nón.

+ r1, r2: Bán kính của đáy nhỏ và đáy lớn.

Cùng Top lời giải ôn tập lại lí thuyết và các bài tập về hình nón cụt nhé.

1. Định nghĩa hình nón cụt là gì?

Hình nón cụt là loại hình nón bị cắt mất phần chóp và 2 đầu tròn của 1 hình nón bị cắt cụt được gọi là các cơ sở.

+ Bán kính của cơ sở hình tròn nhỏ hơn là bán kính nhỏ [r1] và bán kính của cơ sở hình tròn lớn hơn là bán kính lớn [r2].

+ Khoảng cách giữa tâm của 2 cơ sở được gọi là các chiều cao của hình nón cụt [h]. Khoảng cách ngắn nhất giữa các cạnh bên ngoài của hình nón cụt là đường sinh [l].

2. Công thức tính thể tích và diện tích hình nón cụt

Diện tích xung quanh hình nón cụtlà diện tích mặt xung quanh bao quanh hình nón cụt và không cần tính diện tích 2 đáy.

Sxung quanh = π.[r1 + r2].l

Trong đó:

+ Sxq: là Diện tích xung quanh hình nón cụt

+ r1, r2: Bán kính đáy nhỏ và đáy lớn

+ l: là độ dài đường sinh

Diện tích toàn phần nón cụtchính là diện tích xung quanh cộng với diện tích 2 đáy. công thức tính như sau:

3. Bài tập vận dụng

Cho một hình nón có diện tích xung quanh là 65cm2 và bán kính đáy bằng 5cm.

Hãy tính:

1. Diện tích toàn phần của hình nón

2. Thể tích của hình nón

3. Người ta đã cắt hình nón bằng một mặt phẳng [Q] song song với đáy và đi qua trung điểm của đường cao hình nón đó, tạo thành một hình nón cụt. Hãy tính thể tích của hình nón cụt đó?

Bài giải:

3. Gọi O’ là trung điểm của SO

Gọi A là giao điểm của SC với mặt phẳng [Q].

Vì O’A là đường trung bình của tam giác SOC nên O’A bằng 2,5 cm.

Vậy thể tích của hình nón cụt đó sẽ là:

Biết rằng bán kính của đáy nhỏ là r = 3cm, bán kính của đáy lớn là R = 6cm, độ dài AB = 4cm. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:

Sxq= π[r + R]l = π[3 + 6].4 = 36π [cm2]

Để tính chiều cao hình nón cụt, ta có hình vẽ sau:

Áp dụng định lý Py – ta – go và tam giác AHB vuông tại H ta có:

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1:Cho hình nón có bán kính đáy R = 3[cm] và chiều cao h = 4[cm]. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A.25π [cm2]

B.12π [cm2]

C.20π [cm2]

D.15π [cm2]

Chọn đáp án D.

Câu 2:Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh 65π [cm2] . Tính thể tích khối nón:

A.100π [cm3]

B.120π [cm3]

C.300π [cm3]

D.200π [cm3]

Câu 3:Cho hình nón có chiều cao h = 10cm và thể tích V = 1000π [cm3]. Tính diện tích toàn phần của hình nón:

Chọn đáp án B.

Câu 4:Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 10cm và 5cm, chiều cao là 20cm. Tính dung tích của xô:

Chọn đáp án A.

Câu 5:Cho tam giác ABC vuông tại A có: BC = 20cm; AC = 12cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là:

A.2304π [cm3]

B.1024π [cm3]

C.786π [cm3]

D.768π [cm3]

Quay tam giác ABC cạnh Ab ta được một hình nón có chiều cao h = AB, bán kính đáy R = AC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pi-ta-go ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 6:Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và đường sinh 13cm. Tính thể tích hình nón

A.100π

B.30π

C.300π

D.325π

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 7:Cho hình nón có thể tích 100π và chu vi đáy là 10π. Tính độ dài đường sinh

A.12

B.20

C.13

D.14

Chọn đáp án C.

Câu 8:Cho hình nón có bán kính đáy là r = 10 cm và đường sinh dài 26 cm. Tính chiều cao của hình nón

A.12 cm

B.24 cm

C.20 cm

D.16cm

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 9:Cho hình nón có diện tích đáy là 9π cm2, đường sinh 5cm. Tính chiều cao của hình nón?

A.3cm

B.5cm

C.7cm

D.4cm

Chọn đáp án D.

Câu 10:Một hình nón có đường sinh gấp 2 lần bán kính đường tròn đáy. Tìm khẳng định đúng?

A.h = √3r

B.h = 2r C .h = r

D.h = √2r

Ta có:

Chọn đáp án A

Cho hình nón có bán kính đáy $R = OA$, đường sinh $l = SA$, chiều cao $h = SO$. Khi đó :

+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi Rl$

+ Diện tích đáy : \[{S_d} = \pi {R^2}\]

+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi Rl + \pi {R^2}$

+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$

+ Công thức liên hệ : ${R^2} + {h^2} = {l^2}$ 

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy là $R$ và $r,$chiều cao $h,$ đường sinh $l.$

+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi [R + r]l$

+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = \pi [R + r]l + \pi {R^2} + \pi {r^2}$

+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi h[{R^2} + Rr + {r^2}]$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích, thể tích  và các đại lượng liên quan của hình nón và hình nón cụt

Ta sử dụng các công thức ở phần lý thuyết

* Cho hình nón có bán kính đáy $R = OA$, đường sinh $l = SA$, chiều cao $h = SO$. Khi đó :

+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi Rl.$

+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}.$

+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.$

+ Công thức liên hệ : ${R^2} + {h^2} = {l^2}$

* Cho hình nón cụt có các bán kính đáy là $R$ và $r,$chiều cao $h,$ đường sinh $l.$

+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi [R + r]l.$

+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = \pi [R + r]l + \pi {R^2} + \pi {r^2}.$

+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi h[{R^2} + Rr + {r^2}].$

Hôm nay, chúng tôi sẽ chia sẻ chi tiết tới bạn đọc một số nội dung liên quan đến chủ đề công thức tính thể tích hình nón, diện tích xung quanh và toàn phần của hình nón. Đây là những công thức quan trọng nhất của Toán học nằm trong chương trình THPT mà chúng ta sẽ được tìm hiểu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Hình nón là dạng hình học không gian 3 chiều, nó có hình dáng tương tự kim tự tháp Ai Cập. Liên quan tới hình nón sẽ có các công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh, diện tích bề mặt hình nón và công thức tính thể tích hình nón. Hãy cùng chúng tôi ôn tập lại toàn bộ công thức tính diện tích và thể tích các loại hình nón chi tiết nhất nhé.

Hình nón là gì?

Hình nón là hình hình học không gian 3 chiều đặc biệt có bề mặt phẳng và bề mặt  cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh, trong khi bề mặt phẳng được gọi là đáy. Những vật dụng như chiếc nón lá, cây kem, chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón trong thực tế.

Các thuộc tính của hình nón

• Có một đỉnh hình tam giác.
• Một mặt tròn gọi là đáy hình nón.
• Đặc biệt nó không có bất kỳ cạnh nào.
• Chiều cao [h] – Chiều cao là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón là một tam giác vuông.

Các loại hình nón 

Hình nón có thể có hai loại, tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm thẳng hay nghiên.

• Hình nón tròn: Một hình nón tròn là một hình có đỉnh vuông góc với mặt đáy , có nghĩa là đường vuông góc rơi chính xác vào tâm của mặt đáy tròn của hình nón. Trong hình bên dưới, h đại diện cho chiều cao và r là bán kính.
• Hình nón xiên: Nếu vị trí của đỉnh là bất kỳ vị trí nào và không vuông góc với mặt đáy thì đó là một hình nón xiên.

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xung quanh hình nón được xác định bằng tích của hằng số Pi [π] nhân với bán kính đáy hình nón [r] nhân với đường sinh hình nón [l]. Đường sinh có thể là một đường thẳng hoặc 1 đường cong phẳng. Với hình nón thì đường sinh có chiều dài từ mép của vòng tròn đến đỉnh của hình nón.

Trong đó:

• Sxq: là ký hiệu diện tích xung quanh hình nón.
• π: là hằng số Pi có giá trị xấp xỉ là 3,14 
• r: Bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 [r = d/2].
• l: đường sinh của hình nón.

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích mặt đáy hình nón. Vì diện tích mặt đáy là hình tròn nên áp dụng công thức tính diện tích hình tròn là Sđ = π.r.r.

Công thức tính thể tích hình nón 

Để tính được thể tích hình nón ta áp dụng công thức sau:

Trong đó:

• V: Ký hiệu thể tích hình nón 
• π: là hằng số = 3,14 
• r: Bán kính hình tròn đáy.
• h: là đường cao hạ từ đỉnh xuống tâm đường tròn đáy.

Cách xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy của hình nón

– Đường cao là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp.

– Đường sinh là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của hình chóp.

Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó một vòng, nên có thể coi đường cao và bán kính đáy là 2 cạnh góc vuông của tam giác, còn đường sinh là cạnh huyền.

Do đó, khi biết đường cao và bán kính đáy, ta có thể tính được đường sinh bằng công thức:

l =r2 + h2

Biết bán kính và đường sinh, ta tính đường cao theo công thức:

h=l2 – r2

Biết được đường cao và đường sinh, ta tính bán kính đáy theo công thức:

r = l2 – h2

Bài tập ví dụ cách tính thể tích và diện tích hình nón

Ví dụ 1: Một hình nón có bán kính 3cm và chiều cao 5cm, tìm diện tích toàn phần của hình nón.

– Bài giải –

Đề bài đã cho biết bán kính và chiều cao hình nón, tuy nhiên để tính được Stp hình nón ta cần tìm độ dài đường sinh.

Độ dài đường sinh bằng tổng bình phương độ dài đường cao cộng với bình phương bán kính. Hay nói cách khác ta áp dụng định lý pitago để tìm giá trị đường sinh trong hình nón bất kỳ.

Áp dụng công thức phía trên để tính diện tích toàn phần hình nón:

Ví dụ 2: Cho biết diện tích toàn phần hình nón là 375². Nếu đường sinh của nó gấp bốn lần bán kính, thì đường kính cơ sở của hình nón là bao nhiêu? Sử dụng Π = 3.

– Bài giải –

l = 4r và π = 3

3 × r × 4 r + 3 × r 2 = 375

12r 2 + 3r2 = 375

15r 2 = 375

=> r = 5

Vậy bán kính mặt đáy hình nón là 5 => đường kính mặt nón là 5.2 = 10 cm.

Trên đây là công thức chi tiết để tính diện tích, thể tích hình nón bằng và hình nón cụt. Tùy vào dữ liệu bài toán cho giá trị như thế nào mà các bạn tùy biến để tìm được kết quả chính xác nhất. Một lần nữa, Thư viện khoa học chúc bạn học tập tốt.