Định nghĩa
Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 1: Đường tròn tâm \[O\] trong các hình dưới đây được gọi là đường tròn ngoại tiếp vì nó đi qua tất cả các đỉnh của tam giác, tứ giác và ngũ giác.
Khi đó, \[\Delta ABC,\] tứ giác \[ABCD\] và ngũ giác \[ABCDE\] lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn \[[O]\] [tứ giác ở bên trong đường tròn].
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao của các đường trung trực của tất cả các cạnh.
Do đó, để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác, ta có thể làm như sau:
- Kẻ các đường trung trực của các cạnh rồi xác định giao điểm.
- Vẽ đường tròn có tâm là giao điểm các đường trung trực và bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến các đỉnh.
Như vậy, một đa giác có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Đường tròn nội tiếp
Định nghĩaĐường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
Ví dụ 2: Đường tròn \[[O]\] trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả cạnh của đa giác.
Khi đó, \[\Delta ABC,\] tứ giác \[ABCD\] và ngũ giác \[ABCDE\] lần lượt được gọi là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn \[[O]\] [đa giác nằm bên ngoài đường tròn].
Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác
Tâm đường tròn nội tiếp đa giác là giao của các đường phân giác của tất cả các góc trong đa giác.
Do đó để xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác, ta làm như sau:
- Kẻ các đường phân giác của các góc rồi xác định giao điểm \[[\]ví dụ giao điểm \[O].\]
- Kẻ đường thẳng đi qua giao điểm và vuông góc với một cạnh bất kỳ để xác định bán kính \[[\]ví dụ bán kính \[OI].\]
Như vậy, một đa giác có đường tròn nội tiếp nếu đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác.
Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Ngũ giác đều \[ABCDE\] có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp. Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều \[ABCDE\] trùng nhau, đều là tâm \[O.\]
Chú ý:
Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
Chuyên đề luyện thi vào 10: Tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác
- I. Cách xác định tâm của đường tròn
- 1. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 2. Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
- 3. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
- II. Bài tập ví dụ cho các bài tập về tâm của đường tròn
- III. Bài tập tự luyện các bài toán xác định tâm của đường tròn
Bài toán xác định tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác hay tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là một dạng toán thường có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán gần đây. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
- Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học
- Các dạng Toán thi vào 10
- Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác và tứ giác đồng thời tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.
I. Cách xác định tâm của đường tròn
1. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác
+ Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ấy
2. Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác kẻ từ 3 đỉnh của tam giác
3. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
II. Bài tập ví dụ cho các bài tập về tâm của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Lời giải:
+ Gọi I là trung điểm của AH
+ Có HF vuông góc với AF [giả thiết] suy ra tam giác AFH vuông tại F
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IF = IH [1]
+ Có HE vuông góc với AE [giả thiết] suy ra tam giác AEH vuông tại E
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IE = IH [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra IA = IF = IH = IE
Hay I cách đều bốn đỉnh A, E, H, F
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn [O]. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn [O] lần lượt tại M, N, P
a, Chứng minh tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
c, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Lời giải:
a, + Có AD là đường cao của tam giác ABC [giả thiết]
+ Có BE là đường cao của tam giác ABC [giả thiết]
+ Xét tứ giác CEHD có:
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, + Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC
+ Xét tam giác BEC có:
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KE = KB = KC [1]
+ Xét tam giác BFC có:
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KF = KB = KC [2]
+ Từ [1], [2] suy ra KE = KB = KC = KF hay điểm K cách đều 4 điểm F, E, C, B
Suy ra tứ giác FECB nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm của BC
c, + Có FECB nội tiếp đường tròn
Lại có CEHD là tứ giác nội tiếp
Suy ra
+ Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE
Mà BE và CF cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
III. Bài tập tự luyện các bài toán xác định tâm của đường tròn
Bài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H [góc C khác góc vuông] và cắt đường tròn [O] ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.
a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn [O; R]. Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH [H thuộc BC]. Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn [O] [AB < AC]. Gọi H là giao điểm của các đường cao AI, BM, CN của tam giác ABC. Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại D. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn này
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn [O; R]. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a, Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn
b, Kẻ đường kính AK của đường tròn [O]. Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
c, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.
a, Chứng minh rằng tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Cho bán kính đường tròn tâm I là 2cm góc BAC = 500. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF
-------------------
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác hay tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác, chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết được tổng hợp các xác định tâm đường tròn ngoại tiếp... Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 9 nhé. Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!
Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập nhé.
Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:
- Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
- Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
- Phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học