Cách vẽ đồ thị hàm số biến thiên

Table of Contents

Lập bảng biến thiên hàm số là dạng bài tập chắc chắn sẽ gặp trong các bài kiểm tra, bài thi của môn Toán. Các học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn cần vững phần thực hành, áp dụng vào các bài tập một cách thuần thục. Bài viết sau đây sẽ nêu lên ví dụ bài tập lập bảng biến thiên & khảo sát hàm số bất kì qua các bước cụ thể. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá.

I. Khảo sát hàm số

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4.

1. Tìm tập xác định

Tập xác định: D=R

2. Tìm nghiệm của hàm số

1. Cách giải phương trình bậc hai

Để tìm nghiệm của hàm số, cần nắm cách giải phương trình bậc hai như sau:

• Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0

• Với a ≠0
• a,b,c là các hằng số
• x là ẩn số

• Cách giải phương trình bậc hai:

• Định lý Vi-et thuận về nghiệm của phương trình bậc 2

Hai số x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx = c = 0 khi và chỉ khi

• Định lý Viet đảo về nghiệm của phương trình bậc 2

Nếu có 2 số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình:

X2 – SX + P = 0.

2. Tìm nghiệm của hàm số theo hệ trục tọa độ: trục Ox, Oy

y’ =  3x2 + 6x

y’ = 0

⬄ 3x2 + 6x = 0

⬄ x[3x + 6] = 0

⬄  x = 0 và x = -2

Giao điểm với Ox: y = 0 => x = -2; x = 1

Giao điểm với Oy: x = 0 => y = -4

Giới hạn :  

3. Bảng biến thiên

1. Lý thuyết về bảng biến thiên

• Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn
  • Hàm số f[x] được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f[x1] < f[x2]
  • Hàm số f[x] được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f[x1] > f[x2]
  • Hàm số f[x] đồng biến [nghịch biến] trên K còn gọi là tăng [hay giảm ] trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
• Định lý

Cho hàm số y = f[x] xác định và có đạo hàm trên K

Định lý về dấu tam thức bậc hai

2. Lập bảng biến thiên để tìm các điểm của đồ thị hàm số

Điểm cực đại: x = -2, y = 0

Điểm cực tiểu: x = 0, y =  -4

Đạo hàm cấp 2: y’’ = 6x + 6

y’’ = 0 ⬄ 6x + 6 = 0 ⬄ x=1

Điểm uốn I [1;-2]

II. Vẽ đồ thị

Trên đây là những bước giải bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cụ thể nhất. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích. Bạn có thể tìm hiểu về các kiến thức học tập khác trên VOH Giáo Dục.

Kiến thức khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 vì xuất hiện thường xuyên trong bài thi THPT QG. Vậy nên hiểu rõ dạng bài sẽ giúp các em dễ dàng “ăn điểm” trong kỳ thi. Cùng VUIHOC tìm hiểu để dễ dàng giải các dạng bài tập về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nhé!

Cho hàm số y=$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Bước 1: 

• Tìm tập xác định có D=R

• Tính y’ cho y’ = 0 và suy ra các nghiệm nếu có

• Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow x+}f[x], \lim_{x\rightarrow x-}f[x]$

Bước 2: 

• Trường hợp 1: Nếu y’ = 0 có hai nghiệm thì y’ sẽ có dấu là trong trái ngoài cùng. 

• Trường hợp 2: Nếu  y’ = 0 có nghiệm kép thì y’ sẽ có có dấu là luôn cùng dấu với a trừ giá trị tại nghiệm kép. 

• Trường hợp 3: Nếu y’ = 0 vô nghiệm thì y’ sẽ có dấu là luôn cùng dấu với a.

Bước 3: Kết luận 

Đồ thị hàm số có 6 dạng như sau nếu chọn điểm đặc biệt để vẽ đồ thị

Ví dụ 1:   

Cho hàm số y=$x^{3}-3x+1$, xét tính biến thiên của hàm số. 

Bài giải: 

• Tìm tập xác định có D=R, y'=$3x^{2}-3$

• y’ = 0 x = 1 hoặc x = -1

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f[x]=+\infty $

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f[x]=-\infty $

Ta có bảng biến thiên sau: 

Vậy: Hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [$-\infty,-1$] và [$1,+\infty $] nghịch biến trên khoảng [-1,1].

Hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = 3, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCĐ = -1

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: [0; 1], [1; -1], [2; 3], [-2; -1], [-1; 3].

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

Ta có đồ thị hàm số sau: y=$ax^{4}+bx^{2}+c$

Bước 1: 

• Tìm tập xác định D = R

• Tính y’ và y’ = 0 [có 3 có nghiệm hoặc có 1 nghiệm và có 1 nghiệm x = 0].

• Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow +\infty }f[x],\lim_{x\rightarrow -x}f[x]$

Bước 2: Lập bảng biến thiên có: 

Ở bên phải bảng biến thiên, dấu của y’ cùng dấu với a.

Bước 3: Kết luận 

• Tính chất đơn điệu.

• Cực trị hàm số.

• Giới hạn của hàm số.

• Vẽ đồ thị bằng cách vài điểm đặc biệt.

Đồ thị sẽ có 4 dạng sau: 

Ví dụ 2: Cho đồ thị của hàm số y=$\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{4}$

Bài giải: 

• Tìm tập xác định: D = ℝ

• y'=$x^{3}-x$

• y'=0 x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f[x]=+\infty ,\lim_{x\rightarrow x-}f[x]=+\infty $

Ta có bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng [-1; 0] và [1; +∞], nghịch biến trên các khoảng [-∞; -1] và [0; 1].

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = $\frac{-3}{4}$, đạt cực tiểu tại x = ±1 và yCT = -1.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm [-1, 1], [0, $\frac{-3}{4}$], [1, -1], [2, $\frac{5}{4}$], [-2, $\frac{5}{4}$].

3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Ta có hàm số y=$\frac{ax+b}{cx+d}$

• Ta có tập xác định D = R\$\left \{ \frac{-d}{c} \right \}$

• Tính y'=$\frac{ad-bc}{[cx+d]^{2}}$ [y' hoặc dương hoặc âm] $\forall x\in D$

• Đường tiệm cận 

Tiệm cận đứng: $x=\frac{-d}{c}$ vì $\lim_{x\rightarrow \frac{d+}{c}}=...$ và $\lim_{x\rightarrow \frac{d-}{c}}=...$

Tiệm cận ngang: y=$\frac{a}{c}$ vì $\lim_{x\rightarrow x+}y=\frac{a}{c}$

Lập bảng biến thiên: Khi $x\rightarrow +\infty $ thì y=$\frac{a}{c}$

Kết luận:

Hàm số luôn luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vẽ đồ thị: Đồ thị luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng và sẽ có 2 dạng.

Lấy thêm điểm đặc biệt để vẽ đồ thị.

Đồ thị có 2 dạng sau:

Ví dụ 3: 

Cho hàm số y=$\frac{2x-1}{x+1}$, khảo sát sự biến thiên

Bài toán: 

• Tìm tập xác định D=R\{-1}

$y'=\frac{3}{[x+1]^{2}},\forall x\in D$

$\lim_{x\rightarrow [-1]^{+}}y=2;\lim_{x\rightarrow [-1]^{-}}y=+\infty =>x=-1$ TCD

$\lim_{x\rightarrow \pm x}y=2=>y=2$ TCN

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞; -1] và [-1; +∞] và không có cực trị.

Đồ thị: Đồ thị hàm số qua các điểm [0; -1], [$\frac{1}{2}$, 0], và nhận I[-1, 2] làm tâm đối xứng.

 

4. Các dạng bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1:

Cho: đồ thị hàm số: y= $-x^{3}+3x^{2}-4$ 

Xét sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị hàm số đó. 

• Có Tập xác định : D= R.

• Ta có: y'= $-3x^{2}+6x=-3x[x-2]$

Ta có  y’ = 0 ⇔ - 3x [x – 2] = 0 ⇔  x = 2 hoặc x = 0

Hàm số nghịch biến trên các khoảng [$-\infty ;0$] và [$2;+\infty $], đồng biến trên khoảng [0; 2].

Giá trị cực đại của hàm số là y[2] = 0 khi hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 ; 

Giá trị cực tiểu của hàm số là y[0] = -4 khi hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ;

Ta có tại vô cực giới hạn của hàm số là $\lim_{x\rightarrow -8}=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty $

Ta có đồ thị sau:

Cho x = 1 ⇒ y = 0

x = 3 ⇒ y = -4

* Điểm uốn:

Ta có x = 1 do y” = - 6x + 6 = 0 

⇒ y[1] = - 2.

Từ đó suy ra điểm uốn của đồ thị là điểm I[1;-2]

Bài 2: 

Cho đồ thị hàm số y=$x^{3}+3x^{2}$, vẽ bảng biến thiên và khảo sát hàm số:

• Xét tập xác định D=R

• Xét chiều biến thiên:

Xét: y'= $-3x^{2}+6x=-3x[x-2]$

Ta có phương trình y'= -3x[x-2]=0 x=0 hoặc x=2

Tại vô cực giá trị của hàm số là $\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty $

Hàm số nghịch biến trên các khoảng [$-\infty ;0$] và [$2;+\infty $], đồng biến trên khoảng [0; 2].

Giá trị cực đại của hàm số là y[2] = 4 khi hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2; 

Giá trị cực tiểu của hàm số là y[0] = 0 khi hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

Cho x = 1⇒ y[1] = 4

x = 3 ⇒ y = 0

Với  y” = - 6x + 6 = 0

Ta có x = 1 ⇒ y [1] = 4

Từ đó ta có I [1; 4] là điểm uốn.

Bài 3:

Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số y=$\frac{1}{3}x^{3}+2+4x$

• Tìm tập xác định: D=R

• Xác định chiều biến thiên

Tại vô cực hàm số có giá trị là:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $

Ta có: y'=$x^{2}+4x+4=[x+2]^{2}\geq 0, \forall x\in R$

Trên tập R hàm số đồng biến và đồng thời không có cực trị

• Ta có bảng biến thiên: 

* Đồ thị : Cho x = 0 ⇒ y[0] = 0

* Điểm uốn:

y”=2x4=0 ⇔ x=-2

y[-2]=$\frac{-8}{3}$

Vậy điểm uốn của đồ thị là I [-2;$\frac{-8}{3}$]

Bài 4

Ta có y=$-x^{3}+3x^{2}+1$ có đồ thị [C].

a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị và vẽ đồ thị hàm số.

b. Xác định phương trình tiếp tuyến.

Bài giải: 

a.

• Tìm tập xác định: D = R

• Xác định chiều biến thiên:

Ta có: y'=$-3x^{2}+6x=-3x[x-2]$ 

Ta có x = 2 hoặc x = 0 vì y’ = - 3x[x- 2] = 0 

Tại vô cực ta có giới hạn của hàm số: $\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty $

Ta có bảng biến thiên:

y’ > 0 x$\in $[0;2]; y' y=$\frac{1}{2}$

Do đó, điểm uốn I[$\frac{3}{2};\frac{1}{2}$].

b. Ta có:

$2\left | x \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |=m$ $\Leftrightarrow 2\left | x \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |=m$

$\Leftrightarrow 2\left | x \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |-4=m-4$

Gọi [C]:  y=$2x^{3}-9x^{2}+12x-4$ và [C]: $2\left | x \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |-4$

Ta thấy khi x ≥ 0 thì: [C’]: y=$2x^{3}-9x^{2}+12x-4$

Lại có hàm số của đồ thị [C’] là hàm số chẵn nên [C’] vậy nên Oy là trục đối xứng.

Ta có đồ thị [C’].

Giữ nguyên phần đồ thị [C] bên phải trục Oy, ta được [C’1]. 

Lấy đối xứng qua trục Oy phần [C’1] ta được [C’2].

[C’] = [C’1]$\cup $[C'2]

Số nghiệm của phương trình:

$2\left | x \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |=m$
$\Leftrightarrow 2\left |  \right |^{3}-9x^{2}+12\left | x \right |-4=m-4$

là số giao điểm của  đường thẳng [d]: y = m – 4 và đồ thị [C’]. 

Vậy tử đồ thị [C’], suy ra:

⇔ 0 < m - 4 < 1 nên 4 < m < 5

Bài 7. Cho hàm số : y=f[x]=$\frac{1}{8}[x^{3}-3x^{2}-9x-5]$ có đồ thị là [C].

a. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f[x].

b. Với hệ số góc nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C].

Bài giảng:

a. 

• Trên R xác định điều kiện hàm số.

• Xét sự biến thiên của hàm số.

Tại vô cực hàm số có giới hạn $\lim_{x\rightarrow -\infty }=-\infty$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }=+\infty $

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $[-\infty ;1]$ và $\left [ 3;+\infty  \right ]$, nghịch biến trên khoảng [-1; 3].

Tại điểm x = -1 ; yCĐ = 0, hàm số đạt cực đại.

Tại x = 3 ; yCT = - 4, hàm số đạt cực tiểu.

Ta có: y’’ = $\frac{1}{8}$[6x-6], f''[x]=0x=1. y[1]= -2

Vậy nên  I[1; -2] là điểm uốn của đồ thị.

A$[0;\frac{-5}{8}]$ là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Hai điểm B[-1; 0]; C[5; 0] là giao điểm của đồ thị với trục Ox 

Suy ra Điểm U[1; -2], điểm uốn là tâm đối xứng.

b. Ta có:

y'=$\frac{3}{8}[x^{2}-2x-3]=\frac{3}{8}\left [ [x-1]^{2} -4\right ]\geq \frac{3}{2}$

Chỉ xảy ra với  x = 1 ⇒ y = -2.

Kết luận với góc nhỏ nhất tiếp tuyến là 

y = $\frac{3}{2}[x-1]-2=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$

Bài 8. Cho hàm số y= $-x^{3}-x+2$, có đồ thị là [C].

a. Khảo sát sự biến thiên [C].

b. Cho phương trình $\left | x^{3}+x-2 \right |=m$ [1]. Hãy biện luận. 

c. Khảo sát và vẽ [C].

+ Tìm tập xác định: D = R.

+ Xét sự biến thiên của hàm số đề bài.

Tại vô cực giới hạn của hàm số là: $\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty , \lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty $

Ta có y'= $-3x^{2}-1 hàm số nghịch biến trên R.

• Hàm số không có cực trị .

Điểm uốn: Ta có: y''= -6x => y''=0 x=0 

Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 nên U[0;2] là điểm uốn của đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.

Đồ thị cắt Oy tại điểm [0; 2] .

Phương trình y = 0 ⇔ x= 1

Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm [1; 0].

Nhận xét: Đồ thị nhận U[0;1] làm tâm đối xứng.

b. Xét đồ thị [C’]: y=g[x]=$\left | x^{3}+x=2 \right |=\left | f[x] \right |$. Khi đó số nghiệm của phương trình [1] chính là số giao điểm của đồ thị [C’] và đường thẳng Δ: y=m. 

Cách vẽ y = g[x]

B1 : Giữ nguyên đồ thị [C] ứng với phần f[x]$\geq $0 [Phần đồ thị nằm trên Ox.

B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị [3] phần f[x] < 0 [Phần nằm phía dưới trục Ox].

Ta có đồ thị [C’].

Dựa vào đồ thị [C’] ta có :

Nếu m < 0 ⇒ Δ và [C’] không cắt nhau thì [1] vô nghiệm.

Nếu m = 0 ⇒ Δ cắt [C’] tại một điểm thì [1] có một nghiệm.

Nếu m > 0 ⇒ Δ cắt [C’] tại hai điểm thì [1] có hai nghiệm.

Bài 9. Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}+2$ có đồ thị là [C]

a. Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị [C].

b. Tìm m để phương trình $x^{3}-3x^{2}=m$ [1] có ba nghiệm phân biệt.

c. Từ đồ thị [C] hãy suy ra đồ thị [C’]: y=g[x]=$\left | x \right |^{3}-3x^{2}+2$ 

d. Biện luận số nghiệm của phương trình : $-\left |x \right |^{3}+3x^{2}+m=0$ [2]

Bài giảng: 

a. Khảo sát và vẽ [C].

• Tìm tập xác định: D = R.

• Sự biến thiên của hàm số.

Tại vô cực giới hạn của hàm số là: $\lim_{x\rightarrow +\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }=-\infty $ 

Bảng biến thiên:

Ta có: y'=$3x^{2}-6x=0$ ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $[-\infty ;0]$ và $[2;+\infty ]$, nghịch biến trên khoảng [0; 2].

Tại điểm x = 0; yCĐ = 2 hàm số đạt cực đại.

Tại điểm x = 2; yCT = - 2, hàm số đạt cực tiểu.

y’’ = 6x - 6 y''=0 x=1

Đạo hàm cấp hai của hàm số là điểm uốn.

Qua X1 Ta thấy y” đổi dấu khi x. 

Vậy điểm uốn của đồ thị là  U[1; 0]. 

[0;2] là giao điểm của đồ thị và trục Oy.

Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm [1; 0], [$1\pm \sqrt{3};0$].

Chọn x = 3 ⇒ y = 2; x = -1 ⇒ y = -2.

Từ đó có  U[1;0] là tâm đối xứng.

b. Ta có phương trình:

$x^{3}-3x^{2}=m\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+2=m+2$

Ba nghiệm phân biệt đường thẳng y = m+ 2 cắt [C] tại ba điểm phân biệt khi -2 < m+ 2 < 2 hay – 4 < m < 0 từ phương trình [1].

Suy ra – 4 < m < 0 

c. Ta có hàm số y=$\left | x \right |^{3}-3x^{2}+2$ là hàm số chẵn nên đồ thị [C’] nhận trục Oy là trục đối xứng để vẽ đồ thị [C’] ta chỉ cần vẽ [C’] nằm phía bên trái hoặc bên phải của trục Oy rồi lấy đối xứng qua Oy ta được phần còn lại.

Mặt khác với x$\geq $0

=> g[x]=$x^{3}-3x^{2}+2$

=> [C]$\equiv $[C']

Cách vẽ đồ thị [C]:

Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị [C].

Tìm điểm đối xứng qua trục Oy.

d. Ta có phương trình [2]: $\left | x \right |^{3}-3x^{2}+2=m-2$

$\left\{\begin{matrix}y=\left | x \right |^{3}-3x+2\\y=m-2 [\Delta ]\end{matrix}\right. [C']$ 

Giao điểm của đồ thị là nghiệm phương trình.

Ta suy ra:

m - 2 < -2 m Δ không cắt đồ thị [C’] nên phương trình [2] vô nghiệm.

cắt [C’] tại hai điểm phân biệt nên phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt.

m - 2 = 2 m = 4 cắt [C’] tại ba điểm phân biệt nên phương trình [2] có ba nghiệm phân biệt.

-2 < m - 2 < 2 0