Cách xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

Đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] là đường thẳng đi qua trung điểm \[M\] của \[AB\] và vuông góc với \[AB.\]  Mọi điểm \[I\] thuộc trung trực của \[AB\] đều có \[IA=IB.\]

2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác [có thể là 2 đường phân giác]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]

3. Phương pháp giải bài tập xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngọai  tiếp tam giác

Bài tập 1. Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho tam giác \[ABC\] với \[A[-2;3];B[\frac{1}{4};0];C[2;.0]\]. Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].

Bài tập 2. Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho tam giác \[ABC\] với \[A[2;6],B[-3;-4],C[5;.0]\]

1. Tam giác \[ABC\] là tam giác gì?
2. Tìm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]

Đáp số: \[J\left[ 2;1 \right].\]

Bài viết gợi ý:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B; C của tam giác ABC. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn cách đều 3 đỉnh A, B và C. Khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới 3 đỉnh tam giác chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ở lớp 9 các em đã biết cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung trực của ba cạnh tam giác. Nhưng ta chỉ cần giao của hai đường trung trực là có thể xác định được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Qua đây chúng ta có hai cách xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

Cách 1:

Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kì trong tam giác. Giả sử hai cạnh đó là BC và AC.

Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 2:

Gọi I[x;y] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: IA=IB=IC =R

Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{array}\right.$

Xem thêm bài giảng:

Bài tập rèn luyên:

Bài 1: Cho tam giác ABC với $A[1;2]; B[-1;0]; C[3;2]$. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cách 1:

Gọi d1 và d2 là hai đường trung trực của hai cạnh BC và AC của tam giác ABC. Như vậy $d_1\bot BC$ và $d_2 \bot AC$

Gọi M và N lầ lượt là trung điểm của BC và AC => $M[1;1]; N[2;2]$

Vì d1 vuông góc với BC nên d1 nhận vectơ $\vec{BC}=[4;2]$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M.

Phương trình đường thẳng d1 là: $4[x-1]+2[y-1]=0$ $2x+y-3=0$

Vì d2 vuông góc với AC nên d2 nhận vectơ $\vec{AC}=[2;0]$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm N.

Phương trình đường thẳng d2 là: $2[x-2]+0[y-2]=0$ $x-2=0$

Gọi $I[x;y]$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó I là giao điểm của d1 và d2, là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}2x+y-3=0\\x-2=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=-1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I[2;-1]$

Cách 2:

Gọi $I[x;y]$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\vec{IA}=[1-x;2-y]$=>$IA=\sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}$

$\vec{IB}=[-1-x;-y]$=>$IB=\sqrt{[1-x]^2+y^2}$

$\vec{IC}=[3-x;2-y]$=>$IC=\sqrt{[3-x]^2+[2-y]^2}$

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có: $IA=IB=IC$

$\left\{\begin{array}{ll}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll}[1-x]^2+[2-y]^2=[-1-x]^2+y^2 \\ [1-x]^2+[2-y]^2=[3-x]^2+[2-y]^2 \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{ll}x+y=1\\x=2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=-1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I[2;-1]$

Qua hai cách xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta thấy tọa độ tâm I đều cho ta 1 kết quả phải không? May quá…lại đúng.

Nếu các bạn có thêm cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nào hay hơn nữa thì hãy comment ngay dưới bài giảng này nhé.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Hãy xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[5 ;4] B[2 ;7] và C[–2 ;–1] .

b. Trong mpOxy cho 3 điểm A[–2;–2]; B[5 ;–4] và C[1;2]

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].

II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực] do vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.

Ngoài ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông ấy.

Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △MNP vuông tại P có tâm là điểm O, là trung điểm của cạnh huyền MN.

Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tính chất của tam giác đều.

Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.

III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực]

Ngoài ra có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách 1:

Khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác, cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

Bước 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho là O[x, y]. Khi đó, ta có OA = OB = OC = R.

Bước 2: Tọa độ tâm O[x, y] là nghiệm của hệ phương trình \[\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}\]. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm O[x, y] của đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho.

Cách 2:

Bước 1: Thiết lập phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

Bước 2: Giao điểm của hai đường trung trực vừa viết trên chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho △ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC.

Lời giải tham khảo:

Gọi O[x, y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC, ta có:

\[\overrightarrow{OA} = [1-x;2-y]\] ⇒ \[OA= \sqrt{[1-x]^2 + [2-y]^2}\]

\[\overrightarrow{OB} = [-1-x;-y]\] ⇒ \[OB= \sqrt{[-1-x]^2 + y^2}\]

\[\overrightarrow{OC} = [3-x;2-y]\] ⇒ \[OC= \sqrt{[3-x]^2 + [2-y]^2}\]

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC nên ta có:

\[OA=OB=OC⇔\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}⇔\begin{cases}[1-x]^2 + [2-y]^2 =[-1-x]^2 + y^2 \\ [1-x]^2 + [2-y]^2= [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{cases}\]

\[⇔\begin{cases}x = 2 \\ y= -1 \end{cases}\]

Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC là O[2;-1].