- LG a
- LG b
Cho dãy số \[[{v_n}]\] xác định bởi
\[{v_1} = 1\]và \[{v_{n + 1}} = - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\] với mọi \[n \ge 1.\]
LG a
Hãy tính \[{v_2},{v_3}\] và \[{v_4}.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\eqalign{
& {v_2} = - {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr
& {v_3} = - {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = - {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr
& {v_4} = - {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= - {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr} \]
LG b
Chứng minh rằng \[{v_n} = {v_{n + 3}}\] với mọi \[n \ge 1.\]
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh\[{v_n} = {v_{n + 3}}\]với mọi \[n \ge 1,\] bằng phương pháp quy nạp.
Từ giả thiết của bài ra và kết quả của phần a] ta có \[{v_1} = {v_4}.\] Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \[n = 1.\]
Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \[n = k,k \in N^*,\] ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \[n = k + 1.\]
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \[[{v_n}]\] và giả thiết quy nạp ta có
\[{v_{k + 4}} = - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \]
\[= - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\]
Từ các chứng minh trên suy ra ta có \[{v_n} = {v_{n + 3}}\] với mọi \[n \ge 1.\]