- LG 1
- LG 2
Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác cân,AB=AC = a ;mp[SBC]\[ \bot \]mp[ABC] vàSA=SB=a ;
LG 1
Chứng minh rằngSBClà tam giác vuông.
Lời giải chi tiết:
[h.l 12a]
GọiIlà trung điểm củaBC,ta cóAI\[ \bot \]BC.Do [SBC] \[ \bot \] [ABC] nênAI\[ \bot \] mp[SBC], suy ra \[\Delta \]SAIvuông tạiI.
Các tam giác vuôngSAI,BAIcóIAchung,AB=AS, do đóIB=IS, mặt khácIB=IC, suy ra tam giácSBCvuông ởS.
LG 2
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCbiết \[SC = {{3a} \over 2}.\]
Lời giải chi tiết:
VìIB = IC = ISvàAI\[ \bot \] [SBC] nên tâmOcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCthuộc đường thẳngAI,suy raOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cânABCvà bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếpS.ABCcũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
GọiJlà giao điểm thứ hai củaAI[h.l 12b] và đường tròn ngoại tiếp tam giácABCthìAJ= 2RvàAB2= AI.AJhaya2= AI.2R
\[ \Rightarrow R = {{{a^2}} \over {2AI}}.\] [1]
Mặt khác
\[B{C^2} = S{B^2} + {\rm{ }}S{C^2} = {a^2} + {{9{a^2}} \over 4} = {{13{a^2}} \over 4}\]
Và \[A{I^2} = A{B^2} - B{I^2} = {a^2} - {{B{C^2}} \over 4} \]
\[= {a^2} - {{13{a^2}} \over {16}} = {{3{a^2}} \over {16}} \Rightarrow AI = {{a\sqrt 3 } \over 4}.\] [2]
Thay [2] vào [1] ta có \[R{\rm{ }} = {{2a} \over {\sqrt 3 }}.\]
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chópS.ABClà \[{4 \over 3}\pi {{8{a^3}} \over {3\sqrt 3 }} = {{32\pi {a^3}} \over {9\sqrt 3 }}.\]