- LG a
- LG b
- LG c
Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều caoh,nội tiếp một mặt cầu bán kínhR [h< 2R][tức sáu đỉnh của hình lăng trụ nằm trên mặt cầu đó].
LG a
Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.
Lời giải chi tiết:
[h.107].
GọiOlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ,Ilà hình chiếu củaOtrên mặt phẳng [ABC].Khi đó ta có:\[OA = OB = OC = R,OI = {1 \over 2}h.\]Tam giácOAIvuông tạiInên\[A{I^2} = O{A^2} - {\rm{ }}O{I^2} = {\rm{ }}{R^2}\; - {{{h^2}} \over 4}.\]
IAlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đềuABCnên
\[AB = IA\sqrt 3 = \sqrt {3\left[ {{R^2} - {{{h^2}} \over 4}} \right]} .\]
Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng
\[{1 \over 2}\sqrt {3\left[ {4{R^2} - {h^2}} \right]} .\]
LG b
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Lời giải chi tiết:
Thể tích của khối lăng trụABC.A'B'C'là :
\[V = {S_{ABC}}.h = {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4}h = {{3\sqrt 3 } \over {16}}\left[ {4{R^2} - {h^2}} \right]h.\]
LG c
TínhhtheoRđể mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khiAB = h,tức\[{1 \over 2}\sqrt {3\left[ {4{R^2} - {h^2}} \right]} = h \Leftrightarrow h = \sqrt {{{12} \over 7}} R\] [để ý rằng \[\sqrt {{{12} \over 7}} \]< 2].