- LG a
- LG b
- LG c
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng
\[[{\alpha _m}]:3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\]
\[m \in \left[ { - 1;1} \right]\]
LG a
Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng \[[{\alpha _m}].\]
Lời giải chi tiết:
\[d\left[ {O,\left[ {{\alpha _m}} \right]} \right] = {{20} \over {\sqrt {9{m^2} + 25\left[ {1 - {m^2}} \right] + 16{m^2}} }} = {{20} \over {\sqrt {25} }} = 4.\]
LG b
Chứng minh rằng với mọi \[m\in [-1;1]\] ,\[[{\alpha _m}]\] tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Lời giải chi tiết:
Từ câu a] suy ra rằng : khi m thay đổi, các mặt phẳng [\[{\alpha _m}\]] luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4.
LG c
Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng \[[{\alpha _m}]\] và [Oxz] cắt nhau ? Khi m thay đổi, chứng minh rằng các giao tuyến đó song song.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng [\[{\alpha _m}\]] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {3m;5\sqrt {1 - {m^2}} ;4m} \right]\] vì vậy [\[{\alpha _m}\]] cắt mp[Oxz] [có vectơ pháp tuyến\[\overrightarrow j = {\rm{ }}\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right]\]] khi và chỉ khi \[m \ne 0\].
Khi đó, giao tuyến \[{\Delta _m}\] của mp[\[{\alpha _m}\]] và mp[Oxz] là giao tuyến của hai mặt phẳng :
\[3mx + {\rm{ }}5\sqrt {1 - {m^2}} y{\rm{ }} + {\rm{ }}4mz + {\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] và \[y = {\rm{ }}0.\]
Do đó, vectơ chỉ phương của\[{\Delta _m}\] là:
Vì \[m \ne 0\] nên \[\overrightarrow {u'} = {\rm{ }}\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 3} \right]\] là một vectơ chỉ phương của \[{\Delta _m}\].
Do \[\overrightarrow {u'} \] không phụ thuộc vào m nên các giao tuyến \[{\Delta _m}\] song song với nhau khi m thay đổi.