Bài viết hướng dẫn phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số. Kiến thức và các ví dụ minh học có trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu chuyên đề giới hạn đăng tải trên TOANMATH.com.
Phương pháp: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng $f\left[ x \right] = 0.$
+ Bước 2: Tìm hai số $a$ và $b$ $[a 0⇒ f [−1]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệmf [−1] = −1001 + 0,1 < 0 c ∈ [−1; 0]Câu 4. Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .Xét hàm số f [ x ] = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f [−1] = −1, f [0] = 2 ⇒ f [−1]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [−1; 0]• f [0] = 2, f [1] = −1 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [0;1]• f [1] = −1, f [2] = 26 ⇒ f [1]. f [2] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có một nghiệm c3 ∈ [1;2]• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f [ x ] = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng banghiệm thực.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 5. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f [ x ] = 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5f[0] = –5, f[1] = 1 ⇒ f[0].f[1] < 0⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1]Câu 6. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0Xét hàm số: f[x] = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–1] = 1, f[0] = –7 ⇒ f [ −1] . f [ 0 ] < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộcc1 ∈ [ −1;0 ]• f[0] = –7, f[3] = 17 ⇒ f[0].f[3] < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ [ 0;3]• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.Câu 7. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .Xét hàm số: f [ x ] = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.Ta có:+f [0] = 1 > 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [0;1] .f [1] = −1 +f [2] = −1 < 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [2;3] .f [3] = 13 > 0 Mà c1 ≠ c2 nên PT f[x] = 0 có ít nhất 2 nghiệm.Câu 8. Chứng minh rằng phương trình: [1 − m2 ] x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f [ x ] = [1 − m 2 ] x 5 − 3 x − 1 ⇒ f[x] liên tục trên R.Ta có: f [−1] = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f [0] = −1 < 0, ∀ m ⇒ f [0]. f [1] < 0, ∀m⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ [0;1] , ∀mCâu 9. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0Đặt f [ x ] = x 5 − x 2 − 2 x − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf[0] = –1, f[2] = 23 ⇒ f[0].f[1] < 0⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]Câu 10. Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc [−1;1] .Xét hàm số f [ x ] = x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f [−1] = −3, f [1] = 1 ⇒ f [−1]. f [1] < 0 nên PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc[–1; 1].Câu 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:cos2 x − x = 0 πĐặt f[x] = cos2 x − x ⇒ f[x] liên tục trên [0; +∞] ⇒ f[x] liên tục trên 0; 2π π πf [0] = 1, f ÷ = −⇒ f [0]. f ÷ < 0222 πVậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0; ÷ 2Câu 12. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc [–1; 2].Gọi f [ x ] = x 5 − 3 x − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[0] = –1, f[2] = 25 ⇒ f [0]. f [2] < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [ 0;2 ]f[–1] = 1, f[0] = –1 ⇒ f[–1].f[0] < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [−1; 0]c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng [–1; 2]Câu 13. Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc [1; 2].Gọi f [ x ] = x 5 − 3 x − 1 liên tục trên Rf [−1] = 1, f [0] = −1 ⇒ f [−1]. f [0] < 0⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc [–1; 0]Câu 14. Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộckhoảng [–1; 1].Gọi f [ x ] = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên RToán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf[–1] = 5, f[0] = –1 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ [−1; 0]f0] = –1, f[1] = 1 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ [0;1]c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [ –1; 1]Câu 15. Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc [–1; 1].Gọi f [ x ] = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[–1] = 2, f[0] = –3 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ [−1; 0]f[0] = –3, f[1] = 4 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ [0;1]Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng [−1;1] .Câu 16. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:[9 − 5m] x 5 + [m 2 − 1] x 4 − 1 = 0Gọi f [ x ] = [9 − 5m] x 5 + [m 2 − 1] x 4 − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.25 3f [0] = −1, f [1] = m − ÷ + ⇒ f [0]. f [1] < 02 4⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [0; 1] với mọi mCâu 17. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:m[ x − 1]3 [ x + 2] + 2 x + 3 = 0Gọi f [ x ] = m[ x − 1]3 [ x + 2] + 2 x + 3 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[1] = 5, f[–2] = –1 ⇒ f[–2].f[1] < 0⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ [−2;1], ∀m ∈ RCâu 18. Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f [ x ] = x 3 − 2mx 2 − x + m ⇒ f[x] liên tục trên R.• f [m] = −m3 , f [0] = m ⇒ f [0]. f [m] = − m 4• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0• Nếu m ≠ 0 thì f [0]. f [m] < 0, ∀m ≠ 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc [0;m] hoặc [m; 0].Vậy phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 20. Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .Xét hàm số f [ x ] = x 3 − 3 x + 1 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–2] = –1, f[0] = 1 ⇒ phuơng trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [ −2; 0 ]• f[0] = 1, f[1] = –1 ⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [ 0;1]• f[1] = –1, f[2] = 3 ⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ [ 1;2 ]• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phươngtrình đã cho có đúng ba nghiệm thực.Câu 21. Cho y = f [ x ] = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệmphân biệt.Xét hàm số y = f [ x ] = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–1] = –2, f[0] =2 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ phương trình f[x] = 0 có nghiệmc1 ∈ [ −1; 0 ]• f[1] = 0 ⇒ phương trình f[x] = 0 có nghiệm x = 1 ≠ c1• f[2] = –2, f[3] = 2 ⇒ f [ 2 ] . f [ 3] < 0 nên phương trình có một nghiệm c2 ∈ [ 2;3]Mà cả ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệtCâu 22. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trongkhoảng [–4; 0].Xét hàm số f [ x ] = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f[–3] = 5, f[0] = –7 ⇒ f [−3]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [–3;0].• [−3; 0] ⊂ [−4; 0] ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [–4; 0].Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinh
^^ đặt f[x]=2.$x^3$-5.$s^2$+x+1 thì f[x] liên tục và f[o]=1>0
f[2]= -1