ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \[m\] nhỏ hơn 2018 để phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x\] có nghiệm thực?
A. 2017.
B. 2018.
C. 2016.
D. 2015.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Phương trình đã cho tương đương: \[m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} \Leftrightarrow \left[ {m + {2^x}} \right] + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} + {2^x}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].
Với \[\sqrt {m + {2^x}} > 0;\,\,{2^x} > 0\], xét hàm đặc trưng \[f\left[ t \right] = {t^2} + t\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Ta có \[f\left[ t \right] = 2t + 1 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right]\]. Do đó hàm \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Vì vậy \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow f\left[ {\sqrt {m + {2^x}} } \right] = f\left[ {{2^x}} \right] \Leftrightarrow \sqrt {m + {2^x}} = {2^x} \Leftrightarrow m = {2^{2x}} {2^x}\].
Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Xét hàm \[g\left[ a \right] = {a^2} a\], ta có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \[m \ge \frac{1}{4}\].
Mà \[m\] là số nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;;2017} \right\}\].
Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tư duy + Casio:
Ta có phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x \Leftrightarrow m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}}\].
Áp dụng kỹ thuật CALC: Đặt \[{2^x} = y = 100 \Rightarrow m = 9900 = {y^2} y = {2^{2x}} {2^x}\].
Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Khi đó \[m = g\left[ a \right] = {a^2} a\].
Như vậy \[m \ge \frac{1}{4}\], mà \[m\] nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;;2017} \right\}\].
Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'[x] 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x] 3. Lập BBT xét dấu g'[x] 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========