Table of Contents
Ở bài học trước, các em đã được làm quen với phép tính lũy thừa của một số hữu tỉ. Vậy để tính lũy thừa của một tích các số hữu tỉ ta làm thế nào? Bài viết này sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về cách tính lũy thừa của một tích và làm quen với một số dạng bài tập liên quan đến phần này nhé.
1. Nhắc về lũy thừa của một số hữu tỉ
Với x là một số hữu tỉ, n là một số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó lũy thừa bậc n của x là tích của n thừa số x.
Trong đó:
x được gọi là cơ số,
n gọi là số mũ.
Quy ước:
x1=x
x0=1 [x≠0]
Ta có x là số hữu tỉ nên x viết được dưới dạng nên từ đó ta có:
[Tử số có n thừa số a, mẫu số có n thừa số b]
2. Các phép tính với lũy thừa
Với x là một số hữu tỉ, ta có công thức tính tích của hai lũy thừa cùng cơ số như sau: xm.xn = xm+n
Với a là một số hữu tỉ khác 0; m, n là các số tự nhiên và m ≥ n, ta có công thức tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số như sau: am: an = am-n
3. Lũy thừa của một tích
Với a, b là các số hữu tỉ, n là số tự nhiên lớn hơn 1, ta có:
[a.b]n = an . bn
Cách ghi nhớ: Lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa.
Ví dụ. Tính .
Giải.
Ta có .
4. Lũy thừa của một thương
Với a, b là các số hữu tỉ , b khác 0, n là số tự nhiên lớn hơn 1, ta có:
Cách ghi nhớ: Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.
Ví dụ. Tính .
Giải.
5. Các dạng toán liên quan đến lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương
5.1. Dạng 1. Áp dụng công thức tính lũy thừa của một tích để tính nhanh các biểu thức
*Phương pháp giải:
Để tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa ta sử dụng các công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số kết hợp với công thức tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương để thu gọn biểu thức sau đó thực hiện tính toán.
Ở một số bài toán chúng ta nên biến đổi các số thành các lũy thừa cùng số mũ để việc tính toán được thuận tiện hơn.
Ví dụ. Tính:
a]
b]
c]
d]
Giải.
a]
b]
c]
d] .
5.2. Dạng 2: Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ
*Phương pháp giải:
Để viết gọn biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ ta có thể sử dụng các công thức sau:
[1]
[2] am.an = am+n
[3] am: an = am-n [a≠0, m≥n]
[4] an.bn=[a.b]n
[5]
Ví dụ. Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:
a]
b]
c]
d]
Giải.
a]
b]
c]
d] .
5.3. Dạng 3: Áp dụng công thức tính lũy thừa để giải bài toán tìm x
*Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức về lũy thừa kết hợp với quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc để giải bài toán tìm x. Có thể sử dụng các tính chất sau:
[1] Nếu am = an thì m= n [a ∈ Q ,a≠1; m,n ∈ N],
[2] Nếu am = bn thì a = b [a, b ∈ Q; n ∈ N*].
Ví dụ. Tìm x, biết:
a]
b]
Giải.
6. Các bài tập vận dụng tính lũy thừa của một tích
Bài 1. Chọn câu trả lời đúng. Hãy cho biết trong các công thức sau đây công thức nào là công thức tính lũy thừa của một tích:
A. am.an = am+n
B. am: an = am-n
C.
D. an.bn=[a.b]n
ĐÁP ÁNA. am.an = am+n Đây là công thức tính tích hai lũy thừa cùng cơ số.
B. am: an = am-n Đây là công thức tính thương hai lũy thừa cùng cơ số.
C. Đây là công thức tính lũy thừa của một thương.
D. an.bn=[a.b]n Đây là công thức tính lũy thừa của một tích.
Chọn đáp án D.
Bài 2. Chọn câu trả lời đúng. Trong các công thức dưới đây, công thức nào viết đúng?
A. [a.b]n = an + bn
B. am.an = am.n
C.
D. [am]n = am+n
ĐÁP ÁNA. [a.b]n = an. bn nên đáp án A sai.
B. am.an = am+n nên đáp án B sai.
C. nên đáp án C đúng.
D. [am]n = am.n nên đáp án D sai.
Chọn đáp án C.
Bài 3. Chọn câu trả lời đúng. Phân số được viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là:
A.
B.
C.
D. Cả B và C đều đúng
ĐÁP ÁNTa có: hoặc
Chọn đáp án D.
Bài 4. Cho và a ≠ 0. Điền các lũy thừa của a thích hợp vào chỗ trống để được kết quả đúng:
a] a3. ....... = a7
b] ...... .b3 = [a.b]3
c]
d]
ĐÁP ÁNa] a3.a4 = a7
b] a3 .b3 = [a.b]3
c]
d] .
Bài 5. Tính các lũy thừa sau rồi xét dấu kết quả thu được, từ đó rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa bậc chẵn và bậc lẻ của số hữu tỉ âm.
a]
b]
c]
d]
ĐÁP ÁNTa có:
a]
b]
c]
d] .
Từ kết quả trên, ta thấy:
- Lũy thừa của số hữu tỉ âm với số mũ chẵn ta nhận được số hữu tỉ dương.
- Lũy thừa của số hữu tỉ âm với số mũ lẻ ta nhận được số hữu tỉ âm.
Bài 6. Tính:
a]
b]
c]
d]
ĐÁP ÁNa]
b]
c]
d] .
Bài 7. Tìm x:
a]
b]
c]
d]
ĐÁP ÁNa]
2x = 32:2
2x =16
2x = 24
x=4
2x - 3 = 3
2x = 3 + 3
2x = 6
x= 6:2
x= 3
Bài viết đã tổng hợp toàn bộ kiến thức về lũy thừa, lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về lũy thừa, lũy thừa của một tích từ đó có thể áp dụng vào giải các bài tập trên lớp cũng như ở nhà.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
11:24:2917/06/2020
Các công thức về lũy thừa như lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương, lũy thừa của lũy thừa, hay lũy thừa của số hữu tỉ được vận dụng thường xuyên trong rất nhiều dạng toán.
Vì vậy, để giải các bài toán về lũy thừa hay các phương trình mũ, phương trình logarit thì việc ghi nhớ các công thức về lũy thừa [của một tích, một thương hay lũy thừa của số hữu tỉ] và vận dụng linh hoạt là điều rất cần thiết. Bài viết này HayHocHoi sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức về lũy thừa để các em tham khảo.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán bất phương trình mũ, bất phương trình logarit cực hay
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a] Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên:
- Cho n là số nguyên dương và số thực a, khi đó:
•
• Với mọi a ≠ 0:
• Với mọi a ≠ 0:
- Trong biểu thức am, ta gọi a là cơ số, m là số mũ.
* Lưu ý: 00 và 0-n không có nghĩa;
Với n ≤ 0 thì an có nghĩa khi và chỉ khi a ≠ 0.
* Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
° Lời giải:
- Có:
b] Các công thức lũy thừa [của một tích, một thương, của số hữu tỉ,...]
* Đây là các tính chất về đẳng thức của lũy thừa: Với hai số thực a,b ≠ 0 và m, n là các số nguyên ta luôn có
•
•
•
c] Các tính chất về bất đẳng thức lũy thừa
* Cho m,n là các số nguyên dương, ta có:
- Với a > 1 thì am > an ⇔ m > n
- Với 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n
→ Nhận xét: Với a > 0 thì am = an ⇔ m = n
* Cho 0 < a < b và số nguyên m, ta có:
• am < bm ⇔ m > 0
• am > bm ⇔ m < 0
→ Nhận xét: Với 0 < a < b thì am = bm ⇔ m = 0.
2. Công thức căn bậc n
a] Định nghĩa căn bậc n
- Với n là số nguyên dương, căn bậc n của a là số thực b thỏa mãn:
b] Các công thức về căn bậc n
* Tính chất của căn bậc n: Cho a, b ≥ 0, hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên tùy ý p, q. Ta có:
•
•
•
* Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
a]
° Hướng dẫn:
a] Ta có:
b] Ta có:
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
a] Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ [m, n là hai số nguyên, n > 0]. Khi đó:
* Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương.
b] Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.
4. Lũy thừa với số mũ thực
a] Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực:
- Cho số thực dương a và α là số vô tỉ. Khi đó, tồn tại dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn α và
b] Tính chất [các công thức lũy thừa với số mũ thực]
- Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.
* Công thức lũy thừa với số mũ thực
- Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Ta có:
•
•
•
- Nếu a > 1 thì
- Nếu a < 1 thì
* Ví dụ [Bài 5 trang 57 SGK Toán Giải tích 12]: Chứng minh rằng:
a]
° Lời giải:
a]
- Ta có:
b]
- Ta có:
Hy vọng với bài viết Công thức Lũy thừa [của một tích, một thương, số hữu tỉ] ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.