Công thức tính số cực trị của hàm trị tuyệt đối

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm cực trị của hàm số trị tuyệt đối nếu biết bảng biến thiên hoặc đồ thị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm cực trị của hàm số trị tuyệt đối nếu biết bảng biến thiên hoặc đồ thị: Tìm cực trị của hàm số trị tuyệt đối nếu biết bảng biến thiên hoặc đồ thị. Phương pháp. Khi cho trước bảng biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối: Ta dùng các phép biến đổi đồ thị chứa giá trị tuyệt đối để lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu. Chú ý: Cách nhẩm nhanh số điểm cực trị của hàm số. Bước 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f[x]. Bước 2. Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0. Bước 3. Số điểm cực trị của hàm số y = f[x] là tổng số điểm của cả hai bước trên. Ví dụ: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f[x]. Hướng dẫn giải. Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y = f[x] tại ba điểm phân biệt. Bảng biến thiên của y = f[x]. Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Nhẩm nhanh số cực trị. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f[x] có hai điểm cực trị. Dễ thấy trục hoành cắt đô thị y = f[x] tại ba điểm phân biệt. Số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0 là 3. Suy ra hàm số có năm điểm cực trị. Bài tập 1. Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ dưới. Chú ý: Có thể nhẩm nhanh số điểm cực trị như sau: Số điểm cực trị của hàm y = f[x] bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm f[x] số y = f[x] rồi cộng thêm 1. Khi x > 0 thì f[x] = f[x] nên bảng biến thiên của y = f[x] cũng chính là bảng biến thiên của y = f[x] trên đồ thị y = f[x] nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên của y = f[x] trên R như sau. Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Bài tập 2. Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Hàm số đã cho đồng biến trên [-1; 1] nên f[0] = f[0,5].

Bài tập 3. Cho hàm số f[x] = x[x – 3] có đồ thị như hình vẽ. Gọi số điểm cực trị của hàm số g[x] = x[x + 3]. Phần 1: là đồ thị hàm f[x] tương ứng. Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f[x] qua trục Ox khi x < 3. Đồ thị hàm số g[x] là đường nét liền ở hình dưới đây. Từ đồ thị hàm số g[x], ta có số điểm cực trị là 3 hay m = 3. Suy ra đồ thị của h[x] gồm 2 phần được suy ra từ đồ thị ban đầu như sau: Phần 1: đồ thị hàm f[x] ứng với 12/3 và với x < 0. Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f [x] khi 0 < x < 3. Đồ thị hàm số h[x] là đường nét liền ở hình dưới đây. Từ đồ thị hàm số h[x], ta có số điểm cực trị là 4 hay n = 4.

Ta có: $y=\left| f\left[ x \right] \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left[ x \right].f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left[ x \right].f\left[ x \right]=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[ x \right]$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ [chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn].

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left[ x \right]$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left[ x \right]=f\left[ x \right]+2\Rightarrow g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]$

Phương trình $g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left[ x \right]=0\Leftrightarrow f\left[ x \right]=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right]+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left[ x \right]$ thì $y'=\frac{f'\left[ x \right]f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$

Xét $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x-3 \right]\left[ x+2 \right]$

Ta có: $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]\Rightarrow f'\left[ x \right]=3{{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]+{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ 2x-1 \right]$

$={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left[ x-1 \right]\left[ 2x-1 \right] \right]={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 5{{x}^{2}}-6x-17 \right]=0\Rightarrow f'\left[ x \right]=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ x+2 \right]-x\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow x\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+2 \right]=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left[ 2{{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+1 \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m[*]$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt khi $0-20$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 5 điểm cực trị

A. 15.

B. 19.

C. 16.

D. 18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$[*]

Hàm số có 5 điểm cực trị khi [*] có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.[*]$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi [*] có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m0  \\   S=2\left[ m-1 \right]>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Lời giải

Để hàm số $f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left[ x \right]$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-6\left[ m+1 \right]x+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ m+1 \right]x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }[*]$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi [*] có 2 nghiệm trái dấu hoặc [*] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: [*] có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9