Đề bài
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\cot x-4=0\] là
A. \[\dfrac{\pi}{6}\] B. \[\dfrac{\pi}{3}\]
C. \[\dfrac{\pi}{4}\] D. \[\dfrac{\pi}{5}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm ĐKXĐ cho phương trình, ĐKXĐ của hàm số \[y=\dfrac{f[x]}{g[x]}\] là \[g[x]\ne 0\].
Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức \[\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\], quy đồng và đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với hàm lượng giác \[\tan x\].
Phương trình \[\tan x=\tan\alpha\] có nghiệm là \[x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\].
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \[\cos x\ne 0\] và \[\sin x\ne 0\].
Ta có: \[\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\cot x-4=0\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\dfrac{1}{\tan x}-4=0\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{3}{\tan}^2 x+\sqrt{3}-4\tan x=0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3} \text{[thỏa mãn]}\\\tanx=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{[thỏa mãn]}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\]
Với \[ x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi \] nghiệm dương nhỏ nhất là \[\dfrac{\pi}{3}\] tại \[k=0\]
Với \[ x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi \] nghiệm dương nhỏ nhất là \[\dfrac{\pi}{6}\] tại \[k=0\]
Vì \[\dfrac{\pi}{6}