Đề bài
Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\] có \[8{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0\] và \[u_1^3 + u_3^3 = 189\]. Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy,\[{u_1}.q \ne 0.\] Do đó, Ta có
\[\left\{ \matrix{
8.{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0 \hfill \cr
u_1^3 + u_3^3 = 189 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q.[8 - 5\sqrt 5 .{q^3}] = 0 \hfill \cr
u_1^3.[1 + {q^6}] = 189 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
q = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr
{u_1} = 5 \hfill \cr} \right.\]
Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tìm, ta được
\[S = 5 \times {{1 - {{\left[ {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right]}^{12}}} \over {1 - \left[ {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right]}} = {{57645 + 23058.\sqrt 5 } \over {3125}}.\]