Đề bài
Tìm x biết:
\[{1 \over 3} - {1 \over {12}} - {1 \over {20}} - {1 \over {30}} - {1 \over {42}} - {1 \over {56}} - {1 \over {72}}\]\[\, - {1 \over {90}} - {1 \over {110}} = x - {5 \over {13}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:\[\frac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\,\,\left[ {n \in N^*} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\,\, = \frac{{n + 1}}{{n\left[ {n + 1} \right]}} - \frac{n}{{n\left[ {n + 1} \right]}}\\
= \frac{{n + 1 - n}}{{n\left[ {n + 1} \right]}} = \frac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{n\left[ {n + 1} \right]}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\left[ {n \in N^*} \right]
\end{array}\]
Từ đó, ta có:
\[\eqalign{& {1 \over 3} - \left[ {{1 \over {12}} + {1 \over {20}} + {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}}} \right] \cr & ={1 \over 3} - \left[ {{1 \over {3.4}} + {1 \over {4.5}} + {1 \over {5.6}} + {1 \over {6.7}} + {1 \over {7.8}} + {1 \over {8.9}} + {1 \over {9.10}} + {1 \over {10.11}}} \right] \cr & ={1 \over 3} - \left[ {{1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 4} - {1 \over 5} + {1 \over 5} - {1 \over 6} + ... + {1 \over 9} - {1 \over {10}} + {1 \over {10}} - {1 \over {11}}} \right] \cr &= {1 \over 3} - \left[ {{1 \over 3} - {1 \over {11}}} \right] \cr &= {1 \over 3} - {1 \over 3} + {1 \over {11}} ={1 \over {11}} \cr} \]
Nên:
\[{1 \over 3} - {1 \over {12}} - {1 \over {20}} - {1 \over {30}}\]\[ - {1 \over {42}} - {1 \over {56}} - {1 \over {72}} - {1 \over {90}} - {1 \over {110}} \]\[= x - {5 \over {13}}\]
Suy ra
\[\eqalign{& {1 \over {11}} = x - {5 \over {13}} \cr & x = {1 \over {11}} + {5 \over {13}} \cr & x = {{13} \over {143}} + {{55} \over {143}} \cr & x = {{68} \over {143}}. \cr} \]